ми 1;(А) = 0, i\,min{h) = 0, т. е.

f, = 2VK{x + hg),

а2 /

и Ф имеет указанное выше значение.

Условие (0) = О дает бифуркационную кривую, соответствующую возникновению иетли сепаратрисы сшитого седла:

• arctg

При убывании Ко (или возрастании о) от значения, определяемого (7), величина if>i(0) становится положительной, и из петли сепаратрисы сшитого седла рождается неустойчивый предельный цикл.

Из выражений (6) и (7) видно, что при фиксированном обе бифуркационные кривые будут прямыми, проходящими через начало координат плоскости (ао, То)- Между ними расположена область, для точек которой система (1) имеет два предельных цикла, охватывающих фазовый цилиндр.

2. Рассмотрим систему

= У-(ф)-?г/-2аР

F(9)= F((f. + 2я),

отличающуюся от рассмотренной выше наличием члена -Ху в первом уравнении (Я>0).

Сохраняя принятую аппроксимацию (ф) кусочно-постоянной функцией, принимающей значения ±1, и вводя малый параметр р: а = рао, Т = И-То» Я = рЯо, для функции г)(А, Яо), корни которой соответствуют предельным циклам, охватывающим цилиндр, получим выражение

{h, Хо) = f fvo - Ку - 2аоР тТ Il i) + 2 {h, Ю-•> У + р J

Здесь ifii(A) то же, что и в предыдущем примере, а г)2(й.,Яо) дается выражением

2 {h, К) = [(2) - (2я + 2hp] < 0. Имеем также

ibihih, Х„) = -г=- ° <П,

Ч2Л V о; + у 2я + 2h

%{0,К)=--S- <0 Ы°°Ло)-12(,Хо)- - оо.

sin ф л; S (ф) =

cos ф л; с (2ф) =

Кривая г32 = гг {h, Яо) для любых Яо, отличных от нуля, уходит в бесконечность при <», но будет лежать внутри полосы сколь угодно малой ширины е на любом заданном интервале изменения h, если выбрать Яо достаточно малым.

Проследим за изменением числа нулей функции \i{h) + Ч-11;2(/г, Яо) = гз(/г, Яо) на интервале 0</i<°o при возрастании параметра Яо от нуля.

Пусть 8<\3i(0)l, 8 < г)1т1п(*) I. Если Яо выбрано так, что на интервале О < h < h* кривая г)2(/г, Яо) лежит внутри полоски шириной 8 (-8<г)2<0), то число нулей функции fi + г32 по сравнению с не может измениться ни за счет изменения знака ifnun в точке минимума, ни за счет изменения знака 3i(0). С другой стороны, как бы ни было мало Яо, функции г31 + г32 и г)1 имеют нрп достаточно большом h разные знаки [Иш г = 2пуд,

Иш + Ip.,) - - °°\- Очевидно поэтому, что прп возрастании Яо

Л-»оо /

от нуля из бесконечности появляется нуль функции \pi + \р2. Так как в нуле, очевидно, будет + 2<10, то ири этом у системы (8) из бесконечности появляется устойчивый предельный цикл.

Если ао п р выбраны так, что tfii,min<0, tfii(0)>0 и Яо>0 и мало, то система (8) будет иметь три предельных цикла (два устойчивых и один неустойчивый).

§ 3. Автоколебания синхронного мотора. Рассмотрим систему d(fjdt = у, dy/dt = Т - sin ф - р (а + р cos 2ф - Y sin ф) у, а, р, Ъ Т>0,

где р - малый параметр [59, 60, 67].

В качестве фазового пространства будем рассматривать полосу, заключенную между прямыми ф = -я и ф = я; точки этих прямых, имеюп,ие одинаковые координаты у, отождествляем.

Полагая (рис. 203)

- 2я-1ф -2, - я<ф< -я/2, 2я-1ф, - л/2<ф<л/2,

- 2л-1ф-ь2, я/2<ф<л;

• 4я-1ф - 3, -л<ф< - я/2,

4я-1ф-Ь 1, - л/2<ф<0,

- 4я-1ф-Ы, 0<ф<2/л, 4я-1ф - 3, я/2 < ф < л,

получим систему, близкую к кусочно-линейной консервативной системе

dff/dt = yP, dy/dt = T-s{q>)-ii[a + c{2(p)-s{ff)]yQ (1) (р, - положительный параметр).

1. Консервативная система.

d(f/dt = y, dy/dt = T-s((f).

Система (2) имеет замкнутые фазовые траектории при Г < 1. Замкнутые фазовые траектории системы (2) охватывают состояние равновесия. Другие траектории представляют собой спирали, накручивающиеся на фазовый цилиндр (рис. 204).

Рис. 203

Сшивание траекторий консервативной системы внутри полосы (-я, я) (кусков эллипсов и гипербол) осуществляется па прямых ф = ±л/2. Сшивание траекторий системы (1) происходит также и на прямой ф = 0.

Консервативная система (2) имеет интеграл

Я(ф, у)4- +

(ф + я + )Ч2яГ

ф -я -Ь

- я <ф< -"2-,

я; --5-<Ф<я.

Замкнутым кривым соответствует интервал изменения Ь, от

А =--2" " ( - (состояние равновесия типа центр) до = О

(петля сепаратрисы седла). Точка пересечения петли сепаратрисы с осью ф лежит в полосе (О, я/2), если 2 - ->2< Т<1; в полосе (-я/2,0), если 3-2>2<Т<2-У2; в полосе (-я, -ft/2), если 0<Г<3-2У2. В зависимости от Т изменяется число сшиваний для периодического движения. В дальнейшем ограничимся случаем, когда периодическое движение сшивается из траекторий не более чем трех полос (Т>3 -2У2). При этом будут исчерпаны все возможные случаи разбиения фазового пространства на траектории.

Рис. 204