системИменно, дополнительно предполагалось, что граница области G, в которой рассматривается система (А), является циклом без контакта для траекторий этой системы, т. е. простой гладкой замкнутой кривой С, не имеющей контактов (не касающейся траекторий системы (А)). Очевидно, тогда кривая С является циклом без контакта также и для траекторий всякой системы (А), достаточно близкой к (А). Хотя зто предположение сильно ограничивает класс рассматриваемых динамических систем, но при этом смысл понятия грубости системы сохраняется, а определение грубости значительно проще, чем при общих предположениях относительно границы области U.

Определение I. Динамическая система (А) называется грубой (в замкнутой области U, граница которой есть цикл без контакта), если для любого 8>0 можно указать б>0 такое, что для всевозможных измененных систем (А), правые части которых Р{х, у) и Q{x, у) удовлетворяют в области U условиям

Q{x,y)-Q{x, 1/)<б,

Ру{х,у)-Ру{х, г/)<б,

I Qx {х, у) - Qx {х, г/) I < б, \Qy {х, у) - Qy (х, у) < б,

существует топологическое отображение области G в себя, при котором каждая траектория системы (А) отображается в траекторию измененной системы (А) и обратно, и при зтом соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем е.

Р{х,у)-Р{х,у) <б, \PUx,y)-Px{x,y)\<b,

Предположение о том, что граница области G есть цикл без контакта, очевидно, является весьма сильным и ничем не оправданным ограничением на рассматриваемые динамические системы.

Определение грубости может быть освобождено от этого предположения, однако при этом оно значительно усложняется.

Для формулировки этого общего определения грубости введем некоторую вспомогательную терминологию. Пусть, как и выше, система (А) и измененная система (А) рассматриваются в замкнутой ограниченной области G. Пусть дано некоторое б > 0.

1. Измененная система (А) называется 8-близкой в G к системе (А), если во всех точках области G вьшолняются неравенства

\Р{х,и)-Р {X, у)\<:6; \Q(x,y)~Q (X, у)\<8;

рх у) - Рх у) I < б" I Ру у) - Ру 2/) I < й; qx у) - Qx 2) I <б; \Qy у) - оу (т, у) \ < б.

Предположим теперь, что система (А) рассматривается в некоторой

замкнутой области Н, целиком вместе с границей лежащей в области G,

а данная измененная система (А) - в некоторой замкнутой области также целиком вместе с границей лежащей в области G (так что ни одиа

граничная для областей Н или Я точка не является граничной для области G).

2. Разбиение области Н на траектории системы (А) называется г-тож-вестееиным разбиению области Яна траектории системы (А), если существует топологическое отображение замкнутых областей Я и Я, при котором траектории систем (А) и (А) отображаются друг в друга, и при этом соответствующие точм находятся на расстоянии, меньшем е (при этом всякая точка области Я находится в е-окрестности некоторой точки области Я).

Рассматривая исходную систему (А) и измененные системы (А), определенные в замкнутой области G, мы будем говорить о грубости системы (А) - по самому смыслу этого понятия - не во всей области G, а в некоторой (произвольной) замкнутой области Go, целиком содержащейся в открытой области G.

Будем при этом предполагать, что граница области Go является простой .jaMKHyrofl кривой 2) (но теперь уже эта граница может и не быть целиком без контакта).

О п р е д е л е н и е Г. Динамическая система (А) называется грубой в замкнутой области Go tG, если существует замкнутая область Я, целиком содержащаяся в G {Hc:G) и целиком содержащая Go (Go с: Я), в которой выполняются следующие условия: при любом е > О можно указать 6>0 такое, что, какую бы систему (А), б-близкую £ области G к системе (А), мы ни взяли, существует замкнутая областьЯсС, разбиение которой па траектории системы (А) 8-тождественно разбиению области Я на траектории системы (А).

В приведенном определении может вызвать недоумение рассмотрение вспомогательных областей Я и Я. Непосредственно представляется естественным следующее определение: система называется грубой в замкнутой области Go с: G, если при любом 8 > О можно указать б > О такое, что, какую бы систему (А), б-близкую в области G к системе (А), мы ни взяли, существует замкнутая область G, разбиение которой на траектории системы (А) е-тождественно разбиению области Go па траектории системы (А) .

Однако нетрудно видеть, пользуясь введенным ниже понятием грубой и негрубой траекторий, что это определение не запрещает наличия негрубых траекторий (негрубых состояний равновесия, негрубых предельных циклов), лежащих на границе области Go. А это, очевидно, не соответствует содержанию понятия грубости. Данное в тексте определение с введением вспомогательных областей Я и Я выделяет системы, полностью адекватные интуитивному понятию грубой системы.

Введение понятия грубости без специальных предположений о границе области представляется естественным и необходимым с различных точек зрения.

Из данного определения грубой системы, в частности, очевидно следует, что если выбрать достаточно малое е > О и соответствующее б > О, то у всевозможных б-близких к (А) систем (А) в е-окрестности каждого состояния равновесия системы (А) будет лежать одно и только одно состояние равновесия и при этом

) Приводимое ниже определение грубости динамической системы не изменится, если сделать и более общие предположения относительно границы области Go, однако для определенности мы останавливаемся на сделанном в тексте.

*) Эти ограничения являются ограничениями аналитического характера и при этом типа неравенств, а не равенств (см. § 10 настоящей главы).

5) Развернутые доказательства приводимых в настоящей главе предположений см. в [3, 13, 144, 26].

того же характера, что и у системы (А), п в е-окрестностп каждого предельного цикла - одпн и только один предельный цикл того же характера, что и у системы (А), и т. д. Но это, очевидно, накладывает определенное ограничение на возможные у грубых систем состояния равновесия и замкнутые траекторпп *), а также на поведение сепаратрис седел. Подчеркнем, что ограничения, которые требование грубости накладывает на рассматриваемые динамические системы, таковы, что они выделяют общий случай. Другими словами, всякая наперед заданная дпнамп-ческая система, вообще говоря, является грубой, в то время как негрубые системы являются исключительными системами (см. § 10).

Следующие параграфы посвящены формулировке необходимых п достаточных условий грубости и некоторым дополнительным рассмотрениям, которые д.ля этого необходимы. Для простоты формулировок будем считать, что граница области G - цикл без контакта. Однако все дальнейшее справедливо и при бо.лее общпх предпо.ложенпях относптельно границ области).

§ 2. Состояния равновесия, возможные в грубой динамической системе.

Теор ема 1. Если система (А) является грубой в замкнутой области G, то в G у нее может существовать только конечное число состояний равновесия.

В рассматриваемом случае аналитических правых частей системы (А) бесчисленное множество состояний равновеспя возможно лпшь в случае, когда правые части имеют общий множитель. Но тогда можно рассмотреть сколь угодно близкую вместе со своими производными аналитическую систему, у которой правые части уже не имеют общпх множителей, откуда п будет следовать справедливость теоремы 1.

При более общпх предположенпях относительно правых частей динамической системы (например, при предположении о наличии производных до некоторого конечного порядка /с1) у системы (А) может существовать бесчисленное множество корней и в том случае, когда Р{х, у) и Q{x, у) не имеют общего множителя. В этом случае всегда можно взять сколь угодно близкую к (А) систему (А) с аналитическими правыми частями, не имеющими общего множителя.

Таким образом, у грубой в G системы все состояния равновесия изолированные.