причем при н о 0W стягивается к окружности + у = с* {являющейся траекторией системы (Ао));

б) этот предельный цикл является грубым предельным циклом, устойчивым, когда

М.ф(С*)<0,

и неустойчивым, когда

Так как при р, О предельный цикл системы (Ац) стремится к кривой х + у = с*, то естественно говорить, что этот предельный цикл системы (А) «рождается» из кривой х + у = С*.

Теорема 1 имеет локальный характер в том смысле, что в ней идет речь о возникновении предельного цикла в окрестности одной траектории системы (Ао). Следующая теорема, опирающаяся на предыдущую теорему, имеет уже более общий характер.

Теорема 2. Пусть А и В - некоторые положительные числа А < В.

Если уравнение

t(C) = 0

имеет в точности s решений С = Ci, А < Ci < В (i = I, 2, ..., s), причем каждое из этих решений удовлетворяет условию

t(C,)=0,

то при достаточно малом р, система (Ац) имеет в кольце

А<х + у<В

в точности S предельных циклов. Каждый из этих предельных циклов стремится при р, О соответственно к кривой

ж2 + 2/2 == Ci, i = l,2, ...,s.

II. Системы, близкие к нелинейной гамипьтоновой системе. Метод Понтрягина. Рассмотрим систему вида

Х=- - -т- + lip {Х, у, II),

у=- + iiq{x,y,ii).

При р, = О мы получаем гамильтонову систему

X = -дН/ду, у = дН/дх, (Во)

интегралом которой является

Н(х, у)С.

Мы будем предполагать, что при рассматриваемых нами значениях С {С <.С<.С") кривые Н[х, у) = С являются замкнутыми кривыми.

") Заметим, что в случае нелинейной консервативной системы период т, вообще говоря, зависит от С.

2) В случае линейной системы 1{С) = Cif (С).

Пусть x = (p{t, С), y = {t, С)-решение системы (Во), соответствующее некоторой кривой Н{х, у)=С, где С - одно пз рассматриваемых значений. Подставив в р{х, у, 0) и q(x, у, 0) решение x = (p{t, С), y = \!p{t, С), рассмотрим интеграл (этот интеграл, так же как и следующий, находится из рассмотрения функции последования в окрестности кривой Н{х, у)=С):

1(С)=1 [р (Ф, 0) li) - g (ф, г,, 0) ф] dt "). о

Функцию 1{С) будем в дальнейшем называть функцией Понтрягина 2). Рассмотрим также следующий интеграл:

ll (С) = J [ду (Ф {t), it), 0) + рх (ф {t), Ti) (0,0)1 dt.

Рассмотрим производную 1{С). Можно показать, что Г{С) = = 1\С. Имеет место следующая теорема 3 (теорему 1 можно рассматривать как частный случай теоремы 3).

Теорема 3. Пусть Lq - замкнутая траектория гамильтоновой системы

х = -дН/ду, у = дН/дх, (Во)

уравнение которой -

Н{х, у)=Со; x<fo{t), 2/ = to(0

- соответствующее ей решение, xq - период функций <fo(t\

и 1)о(0-

Пусть

х = - + \хр{х,у,1х), У+т (х, у, Я) (В,)

- система, близкая к гамильтоновой {\i - малый параметр). Тогда, если выполняются условия

I (Q = J tp (Фо, ifo. 0) ij) - g (Фо,\, 0) ф] dt = О, о

/ (С) = I, (C7J = J [рх {%, 0) + qy (фо, 0)] dt ф О, о

то существуют числа е > О б > О такие, что:

а) для любого \х, \ц\<8, система (В) имеет в е-окрестности кривой Lo предельный цикл L, причем L стягивается к Lq при м- 0;

б) этот предельный цикл является грубым и притом устойчивым, если li\x<0, и неустойчивым, если IiH>0.

Замечание. Интеграл 7(C) может быть, очевидно, записан как криволинейный интеграл по кривой Н(х, у)=С. Поэтому в том случае, когда системы (Во) и (В) определены во всей области внутри кривой Lo, интеграл 1{С) может быть также представлен в виде

f = j 1 [/х (ж, г/, 0) + qy {х, у, 0)] dx dy, «о

где Go - область, заключенная внутри кривой Lo.

Отметим, что при использовании метода малого параметра мы можем установить только существование таких значений р,, при которых рассматриваемая система имеет предельный цикл. Однако при этом пе дается никаких оценок па значения я, при которых это имеет место.