Составляя то же выражение d(x + y)/dt при ХФО, мы получим

d (х + y)/dt = 2[{х + у){1~Х(х + у))].

Очевидно, если х+ у> 1/1, то d(x + y)/dt < О, т. е. бесконечность неустойчива.

Нетрудно непосредственно проверить, что окружность

х+у= Ш

является предельным циклом системы (3). Этот цикл рождается из бесконечности. Пример 3.

х = у-х{Кх + у-1), y-lx-yiXx + y-i).

При Я = О мы имеем, как нетрудно видеть, качественную структуру, изображенную на рис. 109, при Я > О - изображенную на рис. 110.

Рис. 109

Рис. 110

Предельный цикл - эллипс

х+у1х = т.

родился из бесконечности (из пары прямых у - \ = 0).

§ 5. Условия существования седло-узла и сложного фокуса первого порядка. В гл. 3 и 4 мы предполагали, рассматривая состояния равновесия, для которого А = О, а также рассматривая сложный фокус (А > О, 0 = 0), что в окрестности этого состояния равновесия система приведена к каноническому виду. Однако при качественном исследовании конкретных динамических систем это бывает очень неудобно, так как приведение к каноническому виду иногда требует больших вычислений. В настоящем параграфе мы дадим условия для существования двукратного седло-узла, а также для существования сложного фокуса первой степени негрубости, предполагая, что в окрестности со-

*) Неравенство нулю I означает, что состояние равновесия дву-

кратное. Когда система имеет канонический вид, то I (Я?) = Р(1, 0) (см. гл. 9).

СТОЯНИЯ равновесия 0(0, 0) система имеет общий вид, т. е.

dx/dt = ах + by + f{x, у), dy/dt сх + dy + g(х, у), (4)

где f{x, у) и g(x, у) содержат члены по а; и г/ порядка выше первого. Коэффициенты в разложении правых частей по х, у предполагаются зависящими от параметра X.

Характеристическое уравнение для рассматриваемого состояния равновесия 0(0, 0) имеет вид

- ах -Ь А = О {а = а + d, А = ad - be).

Условия устойчивости состояния равновесия 0(0, 0) (условия Рауса - Гурвица) сводятся к неравенствам

a = a + d<0, А = ad - Ъс > 0.

Разложение f{x, у) и g{x, у) по степеням хиу представим в виде

fix, у) = Р2{х, у) + Рг{х, у)+..., g{x, y)=Q2{x, y)+Qi{x, у)+

Рг {х, г/) = агож + ау уху + ао2У,

Qiix, у)= Ъгах" + Ьцху + 6o2г/

Рз{х, у) = азох + a2ixy + аху + аозУ,

q3(x, у)= Ьзох + b2ixy + bi2xy + Ьоау.

I. Пусть при некоторых значениях параметров Х = ХЧ мы имеем в точке 0(0, 0)

А(Я?) = 0, в{хГ)фО.

Для определенности предположим, что в системе (4) аФО. Этого всегда можно добиться, заменяя х на у или наоборот.

Для того чтобы состояние равновесия 0(0, 0) было седло-узлом, нужно, чтобы величина ¥=0), причем

("> = 7(?W"--"--

а(а -\- ос)

а{а+Ьс) " ~ "" ~ "" +

+ 6V(ca(,2 -абоа)].

) Все коэффхщиенты берутся при значениях параметров Я?.

Все коэффициенты предполагаются взятыми при значениях h = К.

П. Пусть при некоторых значениях параметров Я = Я? мы имеем в точке 0(0, 0)

а=(а + й)=ОиА>0

(т. е. состояние равновесия 0(0, 0)- сложный фокус).

Вычисление дает для = (Я?) следующее выражение через коэффициенты системы ):

+ (ацао-! + 2а(,2Ьо2) - 2ас {Ь - адад) - 2аЬ (яр - ЬдЬ) - - Ь (202020 + Kibg) + (be - 2а) {bb - аа)] - - (а + be) [3 (cbgs - bag) + 2а (a.i + b) + (са - bib)]}.

Коэффициенты членов Pi{x, у), Qi{x, у) (t > 3) не входят в выражение для Li (Я,). Здесь = ad - be = - {а + be) > 0.

Поведение динамических систем вблизи таких значений параметров, при которых первая ляпуновская величина Li обращается в нуль, существенно зависит от знака второй ляпуновской величины

L2 = a,(?)-

Для вычисления L необходимо учесть в разложениях правых частей уравнений члены до пятого порядка включительно. В зависимости от первой и второй ляпуновских величин и знака действительной части корней характеристического уравнения в малой окрестности состояния равновесия на фазовой плоскости могут существовать один или два предельных цикла при всех возможных сочетаниях устойчивости и неустойчивости (один устойчивый или неустойчивый предельный цикл или два предельных цикла - устойчивый внутри неустойчивого или наоборот).

Пусть в некоторой точке М пространства параметров системы а + d = Ll = О, L2 = 0. Тогда, каково бы ни было положительное число "( < 1, можно найти такие числа ео > О и б > О, что для точек из ео-окрестности точки М справедливы следующие утверждения [121]:

1) если в точке М в ряду ст, Li, L2 имеется две перемены знака, то в бо-окрестности состояния равновесия соответствую-