°) Отметим, что все приведенные здесь предложения справедливы лишь для двумерных динамических систем (см. Дополнение).

") Можно провести далеко идущую аналогию между грубыми динамическими системами и функциями одной переменной, имеющими только простые корни, а также кривыми, не имеющими особенностей (особых точек), рассматриваемыми в конечной части плоскости. Эта аналогия является, в частности, весьма плодотворной для выработки эффективных методов качественного исследования.

Воспользовавшись введенным пространством Ra, можно сформулировать теорему 13 в следующей геометрической форме.

Если динамическая система (А), соответствующая точке М пространства Ra, является грубой, то и все точки некоторой окрестности точки М соответствуют грубым динамическим системам (с той же качественной структурой).

Отсюда очевидно следует, что грубые динамические системы заполняют области иросгрансгва динамических систем. Однако можно доказать еще более сильное утверждение. Будем рассматривать в иространсгве динамических систем всевозможные системы, как грубые, так и негрубые. Тогда справедлива следующая теорема °).

Теорема 14. Если (А)-негрубая система, то при любом ё>0 можно указать Ь-близкую к систе.че (А) систему (А), являющуюся грубой.

Из этой теоремы очевидно вытекает, что грубые системы всюду плотны в пространстве динамических систем.

Таким образом, грубые системы можно рассматривать как наиболее простые, наиболее многочисленные динамические системы в соответствующем пространстве динамических систем. Действительно, грубые системы выделяются условиями типа неравенств, и поэтому их естественно рассматривать как общий случай.

В гл. 7 целесообразность введения понятия «грубости динамической системы» оправдывалась естественными соображениями, касающимися свойств динамических систем, описывающих реальные задачи. Однако в силу указанных свойств грубых систем это понятие естественно возникает также в силу внутрен-Heii математической необходимости").

§ 8. Понятие грубости при более общих предположениях относительно правых частей динамической системы. Мы рассматривали выше динамические системы, правые части которых - аналитические функции. Однако понятие «грубости динамической системы» может быть введено совершенно так же и в случае, когда относительно правых частей Р{х, у) и Q{x, у) рассматриваемых динамических систем сделаны более общие предположения.

Наиболее общим - возможным по самому смыслу понятия грубости - является требование наличия у функций Р{х, у) и

Q{x, у) лишь частных производных первого порядка (как и выше, функции Р{х, у) и Q{x, у) предполагаются определенными в ограниченной замкнутой области G). При этом вывод необходимых условий фактически не изменяется и не изменяется также доказательство теорем 13 и 14.

С другой стороны, можно определить грубость динамической системы, предполагая правые части рассматриваемых динамических систем аналитическими (или имеющими непрерывные частные производные до порядка т) при другом определении близости динамической системы. Именно, можно считать близкими динамические системы (А) и (А), у которых близки не только сами функции и их производные первого порядка, но и все соответствующие производные до порядка т. Это, очевидно, означает, что мы рассматриваем пространство, точками которого являются динамические системы с аналитическими правыми частями, в котором расстоянием между двумя точками М шЛ!-одной, соответствующей системе (А), другой - системе (А), является наибольшая из величин

\Р{х,у)-Р{х,у)\, \Q{x.y)-Q{x,y)\, ...

..,\Pliyk-i{x,y)-Pliyk-i{x,y)\,

Qliyk-i{x,y)-Qiyk~i{x,y)\; j = О, i, .. .,n, k-i, к = 1,2, . . .,n, w>2.

В дальнейшем мы будем говорить, что система (А) 6-близка е Сга-топологии к системе (А), если выполняются неравенства

\Р{х, у)-Р{х, j/)l<6, 1(0:, y)~Q{x, j/)l<6, PXk-i{x,y)-Pliu-i{x,y)\<8,

QXh-i{x,y)-Qliyk-i{x,y)\< i = 0, i, m, k>i, k = i, 2, ..., m.

Вводя добавки

p{x, y) = P{x, y)-P{x, y), q{x, y)=Q{x, y)-Q{x, y),

неравенства .(1) можем записать в виде

\p{x,y)\<6, \q(x,y)\<8,

Pliyh-i (x, у) I < б, I qiyk-i {x, y) I < 6,

и в этом случае будем назьшать добавки р(х, у) и q{x, у) 6-до-бавками ранга т.

Доказательство некоторых теорем (например, теоремы 9) даже упрощается.

Пространство динамических систем с введенным здесь определением расстояния между точками (динамическими системами) будем обозначать через л-

Две динамические системы, близкие в смысле определения, данного в § 1, очевидно, могут не быть близкими ири т2 в смысле данного здесь определения.

Нетрудно убедиться, что и при данном здесь определении близости динамических систем ири т>2 необходимые и достаточные условия грубости те же, что и сформулированные в § 6, и, так же как и в случае пространства грубые динамические системы заполняют области в соответствующем пространстве ). Справедливы также теоремы 13 и 14.

До сих пор мы рассматривали ири том или другом определении расстояния между динамическими системами пространство всевозможных динамических систем. Однако в ряде вопросов представляет интерес рассмотрение относительной грубости, именно грубости по отношению к некоторому классу динамических систем, т. е. по отношению к некоторому подмножеству пространства динамических систем {Ra или Ra)- Таким понятием относительной грубости мы воспользуемся ири выделении простейших негрубых систем (см. следующую главу), так называемых систем первой степени негрубости, а также при классификации негрубых систем но степени сложности, или степени негрубости. Отметим, что с точки зрения такой классификации негрубых систем консервативные системы (см. гл. 7) являются системами бесконечной степени негрубости, другими словами, системами степени негрубости более высокой, чем любая конечная степень негрубости. Таким образом, в пространстве Ra (или Ra) консервативные системы являются с точки зрения такой классификации чрезвычайно «редкими» системами.

Однако мы можем, рассматривая класс консервативных (или гамильтоновых) систем, ввести понятие грубости системы относительно этого класса. Таким понятием (без термина «грубость») фактически пользовался Пуанкаре.

Отметим еще также, что введение понятия грубости естественно не только при рассмотрении дифференциальных уравнений. Так, например, рассматривая вопрос о топологии аналитической кривой

Р{х,у) = 0

3) Большой математический интерес представляет также рассмотрение динамических систем, правые части которых - многочлены данной фиксированной степени п. В этом случае динамические системы естественно рассматривать на сфере Пуанкаре (см. гл. 6). Пространством динамических систем является в этом случае проективное пространство коэффициентов многочленов, стоящих в правых частях. Мы не останавливаемся, однако, на этом случае ввиду отсутствия здесь законченных результатов.