§ 2J УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ и НЕУСТОЙЧИВОСТИ 97

Если траектория L стремится к Lq при t +оо, то последовательность (1) стремится к S*, и, наоборот, если последовательность (1) стремится к S*, то траектория L стремится к Lq. Неподвижная точка S* точечного отображения s=f{s) называется устойчивой, если существует такая ее окрестность, что все последовательности вида (1) с начальными точками si в этой окрестности стремятся к этой точке, и неустойчивой, если в любой сколь угодно малой ее окрестности найдется хотя бы одна такая точка, что соответствующая последовательность не сходится к этой точке. Устойчивому предельному циклу соответствует устойчивая неподвижная точка отображения, а неустойчивому или полуустойчивому (см. § 4)- неустойчивая точка.

§ 2. Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки точечного отображения. I. Неподвижная точка s* точечного отображения s = / (s) устойчива, если

f{s*)<l,

и неустойчива, если

/(s*)>l.

Если/(я)=1, то вопрос об устойчивости неподвижной точки определяется высшими производными.

Рассмотрим так называемую диаграмму Ламерея: именно, рассмотрим вспомогательную плоскость (s, s), на ней график функции s = f{s) и биссектрису s = s (рис. 60). Точки пересечения кривой s=/(s) с биссектрисой s = s, очевидно, соответствуют неподвижным точкам точечного отображения s = f{s).

Условия /(5*)<1 и /(s*)>l геометрически означают тог или другой характер пересечения кривой s=f{s) с биссектрисой s = s в неподвижной точке S*.

Если /(s*)=l, то это означает, что кривая s=f{s) касается биссектрисы в точке S* (рис. 61 и 62).

П. Пусть /(s*) = l, /"(«*)=... " Рис. 60

... = f-(s*) = 0, fis*)0. Тогда

неподвижная точка изолирована, т. е. существует такое ео > О, что при всех Is -s*l<8o, кроме s*, у точечного отображения s = f{s) нет больше неподвижных точек и при этом:

а) если к нечетное, то в случае f{s*)<0 неподвижная точка S* устойчива, а в случае /*(s*)> О - неустойчива;

б) если к четное, то неподвижная точка полуустойчива, т. е. в зависимости от знака f{s*) при s<s* (s,>s*), достаточно близком к S*, точки s"=/(s), s" = f{$"),... стремятся

к S*, а при s > S* (s < s*) уходят от s* (или, иначе, к s* стремятся последовательные «предыдущие» точки).

III. Если /(s*)= 1, /*(«*) = О при всех к, то все точки s¥=s* также являются неподвижными.

В этом случае

и точечным отображением является

s = S.

Отметим, что для построения на диаграмме Ламерея последовательных последующих данной точки: s,s" =/(s), s" =/(s"),...

нужно построить так называемую лесенку Ламерея, в построении которой нетрудно разобраться (см. рис. 60 и 61).

В дальнейщем мы будем также часто пользоваться вспомогательной функцией

Mpis) = fis)-s.

Очевидно, если

i)(so) = 0,

то So соответствует неподвижной точке и при этом устойчивой, если i)(so)<0, и неустойчивой, если i)(so)>0.

§ 3. Функция соответствия. Пусть все траектории, при t = tt пересекающие некоторую дугу без контакта k, пересекают другую дугу без контакта I2, не имеющую общих точек с h (рис. 63). Пусть щ - параметр, введенный на дуге k, и иг - параметр, введенный на дуге h. Так же, как и в § 2, будем предполагать, что в параметрических уравнениях дуги h: x = fi(ui), ygiiui), и дуги k: а; = /2(иг), y = g2{u2) функции /;(и,) и g.(u,) (i=l, 2) - аналитические функции щ. Значение параметра иг, при котором траектория, пересекающая дугу U в точке, соответству-

ющей некоторому значению щ, пересекает дугу h, очевидно, является функцией этого значения щ. Эта функция называется функцией соответствия (между дугами h и h): U2 = h{ui).

Пусть параметры ui и U2 на дугах h и h выбраны так, что если считать положительное направление на дугах h к h сторону возрастания Uj, то утлы между траекторией L,

Рис. 63

пересекающей обе дуги h и h, и этими дугами имеют один и тот же знак. Тогда:

I. Функция соответствия для аналитической системы (А) при сделанном предположении относительно параметрических уравнений дуг li и h является аналитической функцией.

II. Производная от функции соответствия h(ui) всегда положительна.

В некоторых случаях (например, при рассмотрении функции последования в окрестности петли сепаратрисы) функцию последования удобнее строить как составленную из двух (или более) функций соответствия. Функция последования

Й1 =f{ui)

может быть составлена из двух (или нескольких) функций соответствия ui=K(w2), U2 = h{ui) между двумя (и более) дугами без контакта.

Составление функции последования из функций соответствия широко используется при рассмотрении кусочно-склеенных систем (см. ч. IV).

§ 4. Изучение окрестности замкнутой траектории. Простые и сложные предельные циклы. В настоящем параграфе излагается некоторое чисто теоретическое исследование окрестности замкнутой траектории. Это исследование хотя и носит чисто теоретический характер ), но тем не менее дает весьма полезные све-

2) Как уже указывалось, отыскание замкнутых траекторий или даже ютя бы доказательство их существования является наряду с установлением расположения сепаратрис задачей, для решения которой не существует регулярных методов.