что можно записать в виде одного уравнения: dz uz

z4l-hu-j.u)-j.hu

(второе из этих уравнений доопределяется при z = 0). Если второе из уравнений не удовлетворяется тождественно, то экватор сферы Пуанкаре есть интегральная кривая. Если Р{х, у), Q{x, г/)-многочлены одинаковой степени, то координаты особых точек на экваторе находятся как корни уравнения

(?„(1, u)-uPn{i, u)=0,

где Qn и Рп - члены наивысшей степени в и Р. Каждый корень соответствует двум особым точкам на экваторе, расположенным диаметрально противоположно.

Всякая простая особая точка на экваторе есть либо узел, либо седло.

Критерий Пуанкаре. Если Q и Р одинаковой степени, то простая особая точка (z = О, и = ыо) будет седлом, если при изменении и от щ - е до uo + е выражение

переходит от отрицательных значений к положительным, и узлом, если указанное выражение переходит от положительных значений к отрицательным.

§ 3. Примеры исследования в бесконечности [93]. Пример 1. Докажем наличие периодических решений у уравнения Рэлея

x-h{l-x)x + x = 0, h>0.

Заменой х = у оно приводится к системе (на фазовой илоскости {х, у))

х = У, y=h(l-y)y-x, k>0. (5)

У системы (5) начало координат 0(0, 0)-состояние равновесия, которое, как нетрудно видеть, является:

1) неустойчивым узлом при /i>2;

2) неустойчивым фокусом при О < /г < 2.

Проведем исследование бесконечно удаленных особых точек, т. е., спроектировав фазовую плоскость на сферу Пуанкаре, рассмотрим особые точки на сфере.

Полагая

xilz, y = u/z,

получаем

Единственной особой точкой этого уравнения является точка и = 0, 2 = 0. Она является сложной. Исследование ее можно упростить, если положить = v. Мы получаем уравнение

do 2u»"

v{l - ha + и) + hu

Это точка рассмотренного в § 2 гл. 4 вида. Очевидно, мы имеем)

1; = ф(м) = -/1аЗ + ..., 1р(ы) = 2/12ы + ...

В силу теоремы 4 § 2 гл. 4 особая точка (О, 0) уравнения (7) - седло.

Для того чтобы установить характер особой точки (О, 0) уравнения (6), необходимо провести небольшое дополнительное рассмотрение. Запишем, вводя параметр т, уравнение (7) в виде системы

dv/dx =-2uv, du/dx = -v{l-hu+u)-hu\ (7)

Непосредственно очевидно, что г; = О является интегральной прямой системы (7). Так как (О, 0) имеет характер седла, то прямая v = 0 должна состоять из точки (О, 0) и двух полусепаратрис. Установим, стремятся ли обе эти полусепаратрисы к точке (О, 0) при т-*+оо (т-оо) или одна стремится к (О, 0) при т +00, а другая при т -оо. Это позволит нам

установить, лежат ли две 2 другие сепаратрисы по

одну сторону от оси v = 0 или одна - по одну, а другая - по другую сторону этой оси, что, как нетрудно видеть, существенно для решения вопроса о характере состояния равновесия на плоскости (z, и).

При v = 0 мы имеем

du/dx = -hu,

Рис. 71 „ , ,,

т. е. при ы > О сц/ст < 0;

при ы<0 du/dt > О, т. е. ось v = 0 составлена из двух со-полу-сепаратрис. Но тогда две другие полусепаратрисы, очевидно, непременно должны лежать по разные стороны оси v = 0). Эти полусепаратрисы стремятся к состоянию равновесия (О, 0), касаясь оси у = О, так как в рассматриваемом случае это - един-

) Здесь и играет, очевидно, роль х, а v - роль у. Для функций, введенных в § 2 гл. 4, мы сохраняем те же обозначения.

Иначе мы придем к противоречию с возможными на траекториях направлениями.

ственное направление, в котором траектории могзгг стремиться к состоянию равновесия (О, 0).

При переходе к плоскости (z, и) имеет, очевидно, смысл рассмотрение только значений v>0; так как х = ±Уи, то особая точка (О, 0) системы (6) будет иметь вид, представленный на рис. 71. Это, очевидно, также топологическое седло, причем z = 0 состоит из двух сепаратрис, а в области z>0 (и соответственно z<0) лежит ио одной сепаратрисе, стремящейся, как нетрудно убедиться, к точке (О, 0) при х-°° (рис. 71). Чтобы исследовать «концы» оси у, делаем замену

X = w/z, у = 1/z.

Тогда

- hf + h + wf

2 + Wz +hw~ hwz

dz dw

hz -\-z {w - h) hw + (1 - Аш + ш)

Отсюда видно, что «концы» оси у, т. е. состояние равновесия г = 0, w = 0 системы (8),- неустойчивый узел, так как h>0. Окончательный вид полусферы изображен иа рис. 72 (где В,

- неустойчивые узлы, а А, Л- седла)). Из расположения траекторий (все траектории выходят из бесконечности и из состояния равновесия 0(0, 0)) в силу теоремы 1 вытекает существование хотя бы одного предельного цикла (на рис. 72 нарисован только один цикл).

Пример 2.

x-h{l-x)x + x = 0

(уравнение Поля).

На фазовой

Ван-дер-

Предельныи цикл

Рис. 72

плоскости (х, у = х) мы получаем систему ж = 1/, у = h{\-x)y-x.

Единственное состояние равновесия - в начале координат. Как нетрудно видеть, мы имеем (при /г > 0): 1) неустойчивый фокус при О < /г < 2;

) На рис. 72, 75 предельный цикл изображен схематично в виде окружности.