три бифуркационные поверхности: две - соответствуюгцие двукратным циклам (охватывающим цилиндр) и одна - сепаратрисе, идущей из седла в седло.

Пример 2 (исследование уравнения движения самолета методом Понтрягина [33]). Введем в уравнения движения самолета (см. § 3 гл. 14) новое переменное г/ = Ур и малое р, полагая

Тогда система (1) § 3 гл. 14 может быть записана в виде dffldt = г/2 - cos ф = дН/ду,

dy/dt = - г/ зшф -f р(А; - г/2) =, дН/д + л/(г/),

(ф. г/)=г/3-г/созф = /1,

т. е. при р = О мы получаем консервативную систему.

По смыслу задачи рассматриваются лишь значения г/ > 0. Траектории этой системы изображены на рис. 149. Замкнутым

кривым, охватывающим состояние равновесия, соответствуют значения /г < О, а охватывающим цилиндр - значения h> 0.

Самому состоянию равновесия типа центра соответствует значение /1 = -2/3. В точках (-я/2, 0), (л/2, 0)- седла.

При \х¥=д в точках (-л/2, 0), (л/2, О)-по-прежнему седла, и среди сепаратрис этих седел, как и при (X = О, есть части оси у = 0. Кроме того, в этом случае, очевидно, существует еще одно состояние равновесия, координаты которого г/3, фз удовлетворяют соотношениям [у Ф 0)

Отсюда

г/2 -cos ф = О, - 8тф-Ьр(А; -созф) = 0.

2(i +iif

(6) (V)

Так как созфз= г/з> О, то, очевидно, в выражении (7) мы должны взять знак + перед корнем (при малых р будет iik- КО и подкоренное выражение больше 4р,*А;2). Таким образом, после элементарных преобразований мы получаем для третьего состояния равновесия Оз(фз, Уъ)

cos Фз = 2-(8)

Ф = arccos

то, очевидно, мы имеем, как нетрудно видеть,

{h,k) = 2 \ (А;-Зг/=) arccos 3 dt/, (И)

где ei{h) и e2(/i) -корни уравнения

3-Зг/=.3/1, -2/3/К О

(при этом 1 = ei УЗ). 18*

В силу того, что при р = 0 состояние равновесия Ог - центр, т. е. для него А > О, о = О, то, очевидно, и при достаточно малых ц для состояния Оз будет А > О, т. е. Ог - фокус.

Отметим еще, что для значений параметра, при которых сепаратриса идет из седла в седло, одновременно образуется два замкнутых контура из сепаратрис (среди которых есть части оси ф): контур, охватывающий состояние равновесия, и контур, охватывающий цилиндр. От первого из этих контуров может появиться предельный цикл, охватывающий состояние равновесия, а из второго - охватывающий цилиндр.

В согласии с методом Понтрягина для решения вопроса о циклах, охватывающих состояние равновесия, рассматриваем функцию!

(h, А;) = j j (р; + qy) йф = j j (А; - 3/) d(p dy, (9)

где двойной интеграл распространен на площадь, ограниченную кривой Я(ф, y) = h при - 2/3 < /i < 0.

Для решения вопроса о циклах, охватывающих фазовый цилиндр, рассматриваем выражение

Ah,k)== J y{k-y)dц> = 2]y{k-y)dц>, (10)

-я о

где у определяется из уравнения Я(ф, y) = h (см. гл. 12) при h>Q.

Функции if)i(/i, к) и if)2(/i, к) мы доопределим по непрерывности до значения h = Q, соответствующего сепаратрисе (консервативной системы), и доопределенную таким образом функцию будем обозначать через 1)(/г, к). Все дальнейшее посвящено изучению возможного характера функции il)(A, к) при разных к.

Мы можем записать выражения для if)i(/i, к) и if)2(, к) в одинаковом виде.

Действительно, так как из (5)

Геометрический смысл ei{h) и е2{/г) (-2/3 </г < 0) представлен на рис. 150.

Интегрируя стоягций в выражении (И) интеграл по частям, мы получим

2 {к - у) у arccos

• (fe-y)(2/ + 3)

Vdy--im-yf

,{h,k)==2[L=;MMdy.

К аналогичному виду преобразуется и выражение для "2(/Ji, к): Действительно, из (5) мы имеем

2у -L 3h

Очевидно, получаем

у Vdi- ~ (Зк - yf

,h (h 1Л 9 C - /) (2y -f- 3h) , (/г, /с) = 2 === dy

J V Чу- ~{Ш-уУ

(13)

(здесь e* - положительный корень уравнения у - Зу = 3h (1> ]3), а 62 - положительный корень уравнения г/3 + 3г/= 3/г,

Рис. 150

которое получается, если в Я(ф, y) = h подставить ф = л). Зависимость корней ei, 62, eg от h изображена на рис. 151. (Часть кривой e\{h) (начинающейся в точке А), лежащая слева от оси ординат, соответствует значениям h, - 2/3 < /г < О, т. е. замкнутым кривым, охватывающим центр; часть этой кривой, лежащая справа от оси ординат, соответствует /г > О, т. е. кривым, охватывающим цилиндр (см. рис. 151).)