В случае, когда рассматривается решение, определенное не на максимально возможном интервале значений t, его всегда можно продолжить и такое продолжение возможно до границы области определенных правых частей системы диффенциальных уравнений. Точные формулировки см. [116, 134]. ,

Мы сформулируем эту теорему применительно к системе (А). При этом, говоря о решении системы (А), будем здесь, как и всюду в дальнейшем, подразумевать решение, продолженное на максимально возможный интервал значений t (т. е. решение, продолженное до границы области определения правых частей системы дифференциальных уравнений)).

Теорема 1 (о существовании и единственности решения системы (А)). Какие бы значения Хо, у о из области определения функций Р{х, у) и Q{x, у) мы ни взяли, при любом to существует единственное решение системы (А), г. е. пара функций

x = (p{t), y = {t) таких, что выполняются тождества

Ф(0-Р(Ф, Ф(<)-(3(Ф, )

и удовлетворяются начальные условия

Хо=-(р{к), yo = {to).

При этом функции (f{t), ф() определены для всех значений t в некотором определенном интервале (т, Т), содержащем to-В частности, решение может быть определено при всех значениях t, т. е. может быть, что т равно - оо, а Т равно +°°.

В силу того, что по самому определению интервала (т, Т) решение на этом интервале продолжено до границ области определения правых частей системы, нетрудно убедиться, принимая во внимание специфический характер («цилиндричность») области R пространства {х, у, t) (в которой должны рассматриваться правые части системы (А)), в справедливости следующей теоремы.

Теорема 2. Если рассматриваемое решение системы (А) x = (p{t), y = {t)

таково, что при всех t из интервала (т, Т) точка M{(p{t), фСО) все время остается в ограниченной замкнутой области G*, целиком содержащейся в области G {в которой определены правые части системы (А)), то обязательно т = -оо, Т = +°°.

§ 3. Простейшие свойства решений системы (А). Сформулируем ряд свойств, которыми решение системы (А) обладает в силу того, что в правые части системы независимое переменное t явно не входит.

) Отметим, что ни в одной точке интегральной кривой х = ф(), у = - т)з(г) системы (А) касательная не может быть параллельна плоскости {х, у).

Действительно, мы можем считать эту кривую заданной в следующем параметрическом виде: а; = ср(), ;/=f = . Если кривая задана в параметрическом виде х - ц){1), г/ = ф(), t - х{1), то, если в какой-нибудь ее точке, соответствующей = о, касательная параллельна плоскости

(х, у), непре.менно х(1о)=0. В рассматриваемом нами случае х(1) =

= I и х(1о) = 1, т. е. нигде не обращается в нуль.

8) Этого очевидно заведомо может не быть (и, как правило, не бывает) в случае, когда система (II) неавтономна (правые части содержат t явно).

) При более общих, чем в тексте, предположениях относительно правых частей системы (А), например, при предположении, что правые части

I. Если x = (f{t), y = {t) есть решение системы (А), то и

x = (f{t + c), y = \lp{t+c),

где с - любая постоянная, тоже есть решение системы (А). При этом, если первое решение определено на интервале (т, Т), то второе решение определено на интервале (т - с, Т - с).

II. Решения

.г = ф(Л-с), у = \!({t + с)

можно рассматривать как решения с одинаковыми начальными значениями .го и i/o и различными начальными значениями переменного 0. Обратно, два решения, у которых начальные значения переменных x q и г/о одинаковы, а начальные значения h различны, могут быть получены одно из другого заменой t на t + с при надлежащем выборе постоянной с. Это является очевидным следствием свойства I и единственности решения, удовлетворяющего данным начальным значениям ).

III. Решение, при t = to принимающее начальные значения Хо, i/O, может быть записано в виде

x = (f{t-to,xo,yo), y = {t-to,xo,yo), (1)

т. е. в решение системы (А) t и to всегда входят только в комбинации (t - to)). По самому смыслу функций (1) очевидно

(f{0,xo,yo) = xo, г) (О, .Го, г/о) = г/о.

Если Хо, г/о (а также to) рассматриваются как произвольные параметры, то функции (1) называются общим решением системы (А). При фиксированных хо, у о, to функции (1) называются частным решением пли просто решением (так что «решение» и «частное решение» имеют один п тот же смысл).

Теорема 3. В случае, когда правые части системы (А) - аналитические функции, функции (1) являются аналитическими функциями всех входящих в них переменных t, to, хо, уо)-

имеют непрерывные производные до порядка п (и не являются аналитическими функциями X, у), функции (1) имеют непрерывные производные по Хй и г/о ДО порядка п и непрерывные производные по f и fo до порядка ге -Ь 1.

Синус и косинус угла а, который образует направление вектора с осью X, даются выражениями

slna = cosa = -,

У Р у) + о" (X, у) Ур (X, у) + {X, у)

§ 4. Геометрическая интерпретация системы (А) на фазовой плоскости {зо,у). Основная геометрическая интерпретация системы (А) связана не с рассмотрением пространства {t, х,у), ас рассмотрением плоскости (а;,!/), которая называется фазовой плоскостью.

В каждой точке области G плоскости {х, у) (область G может совпадать со всей плоскостью), в которой определены правые части системы (А), рассмотрим вектор v с компонентами

Р{х,у), Q{x,y).

Автономная динамическая система (А) определяет в области G векторное поле. Поэтому система (А) называется также динамической системой на плоскости.

В точках, в которых одновременно

г/)=0, Q{x,y)==0, (2)

длина вектора обращается в нуль, а направление вектора становится неопределенным"). Такие точки называются особыми точками векторного поля или особыми точками системы (А).

Во всякой не особой точке М векторное поле непрерывно в том смысле, что угол между векторами в любых двух достаточно близких к точке М точках сколь угодно мал и длины этих векторов сколь угодно мало отличаются друг от друга. Особые точки могут быть точками разрыва векторного поля.

Пусть

= Ф(), y = W) (3)

- какое-нибудь решение системы (А). Множество точек

Л/(ф(0,

где t принимает все значения, при которых определено решение (3), называется траекторией, соответствующей данному решению, или траекторией векторного поля, заданного динамической системой (А), а также фазовой траекторией (или просто траекторией данной динамической системы).

Уравнения (3) очевидно являются параметрическими уравнениями траектории. Обратно, если дана какая-нибудь траектория, то решение, которому она соответствует, называется решением, соответствующим данной траектории.