§ 5. Рождение предельных циклов из особых траекторий степени негрубости выше первой. I. В § 2 было рассмотрено рождение предельного цикла из сложного фокуса первого порядка, т. е. из состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями, для которого первая ляпуновская величина

11 = аз0.

Здесь рассматривается случай, когда система (А) имеет сложный фокус кратностп m > 1, т. е. состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями такое, что первый, не равный нулю коэффициент а,- (г>1) функции последования есть

cc2m+i = L„, ¥= О, m > 1. Как и всюду, наряду с данной системой

dx!dt = P{x, у), dyldt = Q{x, у), (А)

имеюш;ей сложный фокус порядка m > 1, будем рассматривать измененную систему

dx/dt-Pix, у) = Р{х, у) + р{х, у),

dy/dtQix, y)==Q{x, у) + д{х, у), >

где р{х, у) и q{x, ) - достаточно малые добавки ранга 2т+ 1. Имеет место следующая теорема.

Теорема 6. При любом кт всегда можно подобрать такие {сколь угодно малые добавки) р{х, у) и q{x, у) ранга 2т+1, чтобы при переходе от системы (А) к системе (А) из сложного фокуса рождалось к грубых предельных циклов.

Точнее: пусть 0(0, 0) - сложный фокус порядка т системы (А) (т. е. Ьт = а,2т+1 Ф О, а,- = о, г <: 2т + 1), тогда существуют во > О, бо > О такие, что при любых бодобавках ранга 2т -fly системы (А) в ео-окрестности О может существовать не более т предельных циклов, и, какое бы & m мы ни взяли, при любы.ч е < ео, б < бо существуют б-добавки ранга 2т + i такие, при которых у системы (А) в е-окрестности О существует к предельных циклов, и все эти предельные циклы целиком лежат в е-окрестности О.

Всегда можно также подобрать такие сколь угодно малые добавки ранга 2т -\- 1, чтобы пз сложного фокуса О рождался негрубый цикл любой кратности к т, или s предельных циклов соответственно кратностей Пи Щ, ..., п, таких, чтобы сумма их кратностей не превышала т.

Пусть теперь О есть центр системы (А). Тогда, какое бы целое к мы ни взяли, всегда можно указать систему (А), сколь угодно близкую до ранга 2к-\- i к системе (А) и такую, что в данной сколь угодно малой окрестности О у этой системы существует к предельных циклов.

+ "2 + • • • + "fij =

Точнее: если Lo - сложный предельный цикл кратности т системы (А), то существуют ео > О, бо > О такие, что при любых бо-добавках ранга т в So-окрестности Lo существует не более m предельных циклов, и, какое бы ft m мы ни взяли, при любом е > О можно указать б > О и такие б-добавки ранга т, р(х, у) и д{х, у), чтобы у соответствующей системы (А) в е-окрестности Lo существовало к грубых предельных циклов, и все эти предельные циклы лежали в е-окрестности Lo или ki предельных циклов кратностей п, ,.., п, причем ni + П2 + ... + пн is т.

III. Рассмотрим случай, когда сепаратриса седла 0{хо, уо) образует петлю, и при этом в седле

P(o-J/o) + <?y(oJ/o) = 0.

В этом случае возможен как случай, когда нетля устойчива, так и случай, когда петля неустойчива, а также случай, когда все траектории, проходящие через близкие к петле точки, вашшуты.

Можно показать, что в этом случае заведомо существуют такие сколь угодно малые до ранга 3 (или до ранга т>3) добавки, что у соответствующей системы (А) существует не менее двух предельных циклов в сколь угодно малой окрестности петли (см. [84]).

II. Предположим теперь, что система (А) имеет сложный предельный цикл Lo кратности т выше 2 (7П>2); т. е. если рассмотреть функцию последования на дуге без контакта Z, проведенной через какую-нибудь точку предельного цикла Lo

S = a\S+ a2S + ... {s - параметр на дуге /), то мы будем иметь

«1 = ехр I [Р; (ф, + Qy(Ф, )] dt\ = 1 о

(а; = ф (f), У = Ф (О ~ решение, соответствующ;ее предельному циклу Lo, т - период на Zo), «2 = 0 и первый, не равный нулю коэффициент функции последования -

а» о, m 3.

Имеет место следующ;ая теорема (аналогичная теореме 6).

Теорема 7. Всегда можно указать сколь угодно малые добавки р{х, у) и q{x, у) £анга т такие, чтобы при переходе от системы (А) к системе (А) от замкнутой траектории Lo системы (А) рождалось любое число к (кт) грубых циклов или кх \к\ ш) предельных циклов кратностей Ui таких, что

ГЛАВА 11

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ПРАВЫЕ ЧАСТИ КОТОРЫХ СОДЕРЖАТ ПАРАМЕТРЫ

§ 1. Возможный характер зависимости правых частей динамической системы от параметров. Динамические системы, правые части которых зависят от того или другого числа параметров, всегда естественно возникают при рассмотрении различных задач из приложений.

Пусть правые части динамической системы зависят от п параметров, т. е. имеют вид

dxldt = Р{х, у, h, К),

dyldt = Q{x, у, lu •; К).

Мы будем предполагать, что правые части являются аналитическими функциями не только переменных х, у, но и параметров Ki.

Если обратиться к рассмотрению одного из общих пространств динамических систем (см. гл. 8), то, очевидно, ири каждом наборе значений параметров h мы получаем точку в этом пространстве, а при всевозможных значениях параметров Я,1 - в пространстве На выделяется м-мерное подпространство динамических систем (к).

Очевидно, что, в частности, система (А,.) может быть негрубой при всех значениях параметров к. Так, например, мы можем рассматривать систему вида

dx дН(х, 11,%, ?ь„)

dy дН(х, у,1, Я„) dt ~~ дх

которая является гамильтоновой системой при всех значениях параметров (т. е. с точки зрения введенной классификации - бесконечной степени негрубости)).

) В случае, когда мы рассматриваем всевозможные динамические системы с аналитическими правыми частями. Как уже было указано в § 8 гл. 8, если мы ограничиваемся рассмотрением только множества гамильтоновых систем, то можно естественным образом ставить вопрос о грубости внутри этого множества, как это фактически и было сделано А. Пуанкаре.