Очевидно, также возможны системы вида (Ах), не являющиеся гамильтоновыми, но являющиеся негрубыми при всех значениях параметров. Например, при всех значениях параметров у системы может быть сложное состояние равновесия, сепаратриса, идущая из седла в седло, и т. д.

Однако в дальнейшем мы будем предполагать, что у рассматриваемых систем, правые части которых зависят от п параметров: Я,1, Яг, ..., Я„, в пространстве параметров (являющемся п-мерным пространством) не существует никакой гг-мерной области, всем точкам которой соответствуют негрубые системы.

Это предположение является существенным для рассмотрения настоящей главы.

Можно считать, что это предположение является предположением о некотором общем случае расположения многообразия размерности п (выделенного в пространстве системой (А), правые части которой зависят от п параметров Я1, ..., Яп) по отношению к тем подпространствам пространства Ra, которые соответствуют негрубым динамическим системам. Именно такой характер вхождения параметра типичен для задач теории колебаний.

При этом предположении грубые системы в пространстве параметров заполняют области. Действительно, если в м-мерном пространстве параметров существует хотя бы одна точка, которой соответствует грубая динамическая система, то тогда, очевидно, в пространстве параметров непременно будет существовать и целая гг-мерная область, заполненная грубыми системами. Так как грубые системы выделяются условиями типа неравенств, полное качественное исследование системы типа (А) сводится к установлению разбиения пространства параметров на области с одинаковой - грубой -- качественной структурой и к установлению этой качественной структуры. Значения параметров Я,-, соответствующее грубым системам, будем называть грубыми значениями параметров, а области, заполненные грубыми значениями параметров,- грубыми областями.

Области, заполненные грубыми системами с различными качественными структурами, разделяются п - 1-мерными «пленками», точкам которых соответствуют негрубые системы, причем в общем случае - это системы первой степени негрубости.

Действительно, системы первой степени негрубости - это системы, которые выделяются одним (и только одним) условием типа равенства (например)

Д(2:о, г/о) = 0,

Пх(Ф,115) + ;(Ф,115)]йг = о.

Это условие в пространстве параметров выделяет в общем случае п- 1-мерную поверхность - «пленку».

В математической литературе в настоящее время при рассмотрении функциональных пространств, а также введенного в гл. 8 пространства динамических систем, используегся понятие «коразмерность». Не давая точного определения, поясним смысл этого понятия. В элементарном случае евклидова трехмерного пространства: «коразмерность 1»-множество точек (гладкая поверхность), задаваемое функцией Ф(ж, у, z) = 0 с градиентом, не равным нулю; «коразмерность 2» соответствует грансвер-сальным (без касания) пересечениям двух гладких поверхностей; «коразмерность 3» соответствует точке. В ге-мерном пространстве: коразмерность 1 задается одним условием - Ф(а;1, Х2, Хп) = 0~ это гладкая гиперповерхность с числом измерений п-1; коразмерность 2 - гладкая гиперповерхность с числом измерений п - 2 и г. д. Таким образом, в евклидовом пространстве понятие коразмерности не вносит ничего нового по сравнению с числом измерений. Когда рассматривается функциональное пространство, точками которого являются, например, динамические системы, о числе измерений, как правило, говорить уже невозможно. Однако можно (по аналогии с конечномерными) ввести понятия: «гладкое функциональное соогноще-ние», «гладкая гиперповерхность», удовлетворяющая одному функциональному соотношению между элементами этого пространства, а также понятие «грансверсальное» пересечение. Тогда множество элементов этого пространства, удовлетворяющее одному функциональному соотношению,- это множество коразмерности 1. Множество элементов, удовлетворяющих п функциональным соотношениям, определяющим п гладких гиперповерхностей, пересекающихся грансверсально,- множество коразмерности п. Пусть у динамической системы х = Р, у = Q есгь единственный негрубый элемент - простое состояние равновесия с чисто мнимыми харакгеристическил1и корнями и не равной нулю первой ляпуновской величиной. Если рассматривать всевозможные системы х = Р, у = Q, близкие к данной, на которые накладывается единственное требование сохранения чисто мнимых корней для близкого состояния равновесия (т. е. требование рх + Qy = 0), то динамические системы, удовлетворяющие этому условию, лежат на гиперноверхности коразмерности 1 в пространстве динамических систем («гладкость» эгой поверхности устанавливается с использованием понятия «обобщенный градиент»). На гиперповерхности коразмерности 2 лежат, напри-

мер, динамические системы с состоянием равновесия с чисто мнимыми корнями и равной нулю первой ляпуповской величиной (Рх + <?у = О, «3 = 0) п т. д.

С «порядкол!» коразмерности 1, 2, ..., как н со «степенями» негрубости 1, 2, ..., связываются представлеппя о возлюжных в системе при изменениях правых частей наборах бифуркаций. Понятия степепей негрубости связаны с этим более органично.

Как мы впдели, при рассмотрении систем первой степени негрубостп для таких систел! запрещаются: а) случай, когда существует двукратный предельный цикл, па который извне и изнутри накручиваются сепаратрисы, и б) случай, когда на петлю сепаратрисы накручивается хотя бы одна сепаратриса. Оба эти случая невозможны в системах первой степени негрубостп в силу данного определения таких систем, так что прп налпчпп таких образований система рассматривается как спстелш более высокой степени негрубостп.

Между тем динамические системы, для которых осуществляется случай а) илн б), в общем пространстве динамических систем заполняют пленки, т. е. имеют коразмерность 1. Действительно, в случае а) эта пленка выделяется условием наличия двукратного цикла, а в случае б)-условием наличия петли сепаратрисы. Однако эти пленки существенно отличаются от пленок, соответствующих системам первой степени пегрубости: в любой их окрестности существуют другие негрубые пленки; как в случае а), так и в случае б)-это пленки, соответствующие сепаратрисе, идущей из одного седла в другое седло. Можно показать, что в указанных случаях а) и б) пленка является недостижимой границей области, заполпенпой грубыми системами, т. е. не существует простой дуги, соединяющей сколь угодно близкую точку грубой области с указанной пленкой, не пересекающей других пленок.

Мы уже отмечали, что понятия грубости и степени пегрубости могут быть полностью аналогично введены и в других математических объектах. Рассмотрим, например, пространство кривых

F(x, j,)-0, (С)

где F{x, J/) - аналитическая функция.

Для таких кривых можно ввести понятие «грубой кривой» и кривой «первой степени пегрубости», «второй степени пегрубости» и т. д. Однако при этом возникает существенное различие с динамическими системами. Можно показать, что в пространстве кривых (С) множество кривых первой степени негрубости (и только кривых первой степени негрубости) является пленкой, и всякая такая пленка является достижимой в множестве грубых кривых. Множество кривых более высокой степени является пересечением двух (или более) пленок и всегда имеет