В цилиндрическом фазовом пространстве (на полосе -л Ф л с отождествленными краями) состояния равновесия будут Ol (arcsin-у, 0)-фокус или узел, Ог (л - arcsin-у, 0)-седло.

Слияние и исчезновение особых точек - простейшая бифуркация, возможная в системе (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия Oi, с бифуркациями сепаратрис, идуш,их из седла в седло (при этом появляются или исчезают предельные циклы) и появлением предельных циклов из сгуш,енпя траекторий, из сепаратрисы особой точкп седло-узел и из бесконечности. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1). Знание всех бифуркаций позволяет дать разбиение пространства параметров i>0, К>0, d на области с различной структурой разбиения фазового пространства на траектории.

1. Поворот поля. Плоскость параметров {К, d) можно покрыть такой сеткой кривых, изменение параметров вдоль которых осуществляет монотонный поворот поля системы (1). Разность полей направления системы (1) с параметрами Хо и do и измененной системы с параметрами Xi и di для уФО будет

Xl - do + (Яоо - Х1Й1)со8ф.

Монотонный поворот будет осуществляться, если измененные значения параметров Xi и di выбирать так, чтобы выполнялось условие

Хойо - Xidi = 0.

Это условие будет выполнено, если X и й изменять вдоль А:-кривых:

М = к, А; = const, -°о<к<+°°.

Семейство /с-кривых покрывает всю плоскость (X, d), за исключением самих осей X и d. На прямой г/ = О контакт ложный. Кривые исходной п измененной систем пересекаются с касанием по оси ф. Разность полей направлений при изменении параметра -у будет {ii - io)ly. При изменении поле направлений на нижнем и верхнем полуцилиндрах поворачивается в противоположных направлениях. Прямая у = 0 в этом случае будет контактной кривой.

2. Рождение цикла из фокуса. Состояние равновесия Qi будет сложным фокусом для поверхности

а, = (р; + Qy\ = X (d /Г - 1) = 0.

При переходе через поверхность Oi = О в направлении возрастающих Ol фокус из устойчивого становится неустойчивым и из него появляется единственный устойчивый предельный цикл (первая ляпуновская величина для точек поверхности Oi = О имеет значение аз = - [лХ (1 - т)"]/8 < 0).

J" [7 - Я (1 - d cos ф) у] с?ф = О,

если с -предельный цикл (2). При малых f я X предельный цикл, охватывающий цилиндр, будет близок к одной из кривых

г/о = ±У2(созф + /г), i<h<°°,

являющихся решением уравнения (2) при f = X = 0 (см. гл. 15). Значению h = i соответствует сепаратриса, идущая из седла в седло. Значения константы h, выделяющей кривые консервативной системы, вблизи которых для малых "f и Я на верхнем и нижнем полуцилиндрах будут существовать предельные циклы системы (1), определяются соответственно как корни уравнений

i5i(/j) = 0, 15з(/г) = 0,

%.а ih)= j [V - Я (1 - d cos ф) Уд] dtp = (3)

= 2яг Т я - з [2 (х 1) F -t- (2 - х) ] j {к),

/1>1, х2

h + 1-

Здесь F и Е - полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулем к; верхний знак для i{>i), нижний знак для г52(х). Предельный цикл, соответствующий корню х = хо,

будет устойчив, если г/офг.а (>«о) > О-

Функции ifi доопределяются для х = 1 их предельными

значениями % (1) = 2лу-}---X(cZ - 3) и -ф (1) = 2v --Я (d - 3). Из (3) следует, что для любых d будет i5i(0)= -«>, (0) = 4-°°, а также что при dX) производная 1,2 не меняет знака в интервале Oxl). Отсюда сразу следует, что если для dX)

) См. § 2 гл. 15, пример 3, где проведено подробное исследование системы (1) методом Понтрягина.

3, Качественные структуры на «концах» А;-кривых. Чтобы

проследить за изменением качественной структуры фазового пространства и возможными бифуркациями при монотонном повороте поля с изменением параметров вдоль /с-кривых, нужно знать структуры разбиения фазового пространства на концах fe-кривых для малых и для больших к (и соответственно для больших и малых d). Представим (1) в виде

г/йг/4- зшф = [f - Я(1 - dcos ф) г/]йф. (2)

Из (2) будет следовать

t, + X{l + d1i -f)i,-1i-f = 0.

Для О = = 1 один корень всегда отрицателен и соответствует направлению, по которому со-сепаратриса входит в седло. Пусть на некоторой прямой ф = фо отмечена координата щ точки пересечения прямой с со-сенаратрисой седла. Если с возрастанием К двигаться в пространстве параметров вдоль А;-крпвых, то векторное поле будет монотонно поворачиваться по часовой стрелке и координата Цо на прямой ф = фо будет расти, а максимум изоклины убывать. Поэтому всегда можно выбрать К и d так, чтобы неравенство {i + f) 1К{1 - \d\)< щ выполнялось.

Для указанных значений параметров предельные циклы не могут существовать также и на нижнем полуцилиндре, так как если там существует замкнутый контур, составленный из траек-

выполняется условпе

А) = 2пу+-K{d-3)>0, (4)

ТО на верхнем полуцилиндре есть единственный устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр, а если выполняется условие

г;2(1) = 2л7---Я(сг-3)<0, (5)

ТО на нижнем полуцилиндре есть единственный устойчивый предельный цикл. Если выполняется условие (5), то заведомо выполняется п условие (4). Требование малости правой части (2) (Y<e, К<г, X\d\<e) выделяет на плоскости {К, d) неограниченную ПО d область, примыкающую к оси Я = О и содержащую кривые i5i(l) = 0 И 1)52(1) = 0. Уравненпе i52(l) = 0 при малом в плоскости параметров К, d (не малых) дает при Я О асимптотическое представление кривой, выделяющей область плоскости параметров, для точек которой в фазовом пространстве системы (1) есть устойчивый предельный цикл как на нижнем, так и на верхнем полуцилиндрах. При этом d>0 и состояние равновесия Oi будет неустойчивым. Качественная структура фазового пространства в этой областп представлена на рнс. 178,1.

Проследим за поведением а- и со-сепаратрпс седла на верхнем полуцилиндре при больших К, 0<ldi<l и Ofl- Если (о-сепаратриса седла попадает в область выше максимума изоклины горизонтальных наклонов г/тах< (1 + Tf)/[ (1 ~ li)11 то, очевидно, предельные циклы, охватывающие цилиндр, не могут существовать. Такие значения параметров можно выбрать при больших К. Направления, по которым траектории системы (1) входят В седло о2, определяются уравнением