4) Абсцисса общей точки Д* и о*, т. е. ж*, больше абсциссы максимума кривой Д*. Расположение линий Д* и о* на плоскости {х, у о) показано на рис. 170, в, а соответствующее расположение на илоскости {хо, г/о)-на рис. 171, е. При дальнейшем увеличении р может быть еще одна возможность, при которой состояние равновесия с меньшей абсциссой устойчиво, а с большей - неустойчиво. Мы предоставляем читателю проследить возникновение такой возможности на плоскости {х, г/о) и соответствующую картину на плоскости {хо, г/о). На рис. 171 в области 1 у системы (1)-единственное состояние равновесия, узел пли фокус, в области 2 - три состояния равновесия, оба узла или фокуса устойчивы, в области 3 - фокус или узел с меньшей абсциссой неустойчив, фокус или узел с большей абсциссой устойчив, в области 4-единственное состояние равновесия неустойчиво, в области 5 - три состояния равновесия, два неустойчивых узла или фокуса. Как уже указывалось, возможен еще случай, когда левое состояние равновесия - устойчивый фокус или узел, правое - неустойчивый.

2. Предельные циклы и петли сепаратрисы. Значениям Хо, Уо, лежащим на сплошной части линии а (см. рис. 171), соответствует наличие сложного фокуса. При изменении хо, г/о, ири которых точка пересекает сплошную часть линии а, фокус меняет устойчивость, ири этом могут рождаться (или стягиваться) предельные циклы. Решение вопроса о числе и характере этих предельных циклов требует вычисления ляпуновской величины, что в рассматриваемой задаче весьма затруднительно.

Рассмотрим возможность существования предельного цикла, окружающего все три состояния равновесия. Непосредственно по правым частям системы (1) видно, что при малых у dy/dt > >0 (траектории направлены вверх), а при больших у dy/dt< < 0. Следовательно, все траектории входят в прямоугольник, ограниченный прямыми у -О, у = у*, где у* достаточно велико, а = а; < 1 (а - величина, удовлетворяющая уравнению (4)). Поэтому ири значениях параметров, при которых у системы существует единственный неустойчивый узел или фокус (это будет иметь место для значений параметров из области 1) заведомо должен существовать по крайней мере один устойчивый предельный цикл или нечетное число циклов - устойчивых на единицу больше, чем неустойчивых.

Будем предполагать, что цикл один.

Кривая о проходит через точку заострения кривой Д лишь при специальных значениях параметров, при которых одновременно выполняются равенства

i{x)=4{x), g{x) = 0{x).

Если этих соотношений нет, то кривая о не проходит через точку заострения кривой Д, и, следовательно, трехкратное со-

Рис. 172

сепаратрис мы переходим ко второму, не проходя при этом через кратные состояния равновесия (можно показать, что это всегда возможно). Тогда можно показать, что мы непременно должны пройти через расположение, представленное на рис. 172, а, когда петля сепаратрисы охватывает оба состояния равновесия, образует большую петлю. Можно показать, что при этом существует случай, когда седловая величина отрицательна. Тогда

стояние равновесия системы, соответствующее точке заострения кривой Д, имеет характер узла с о О (сложный узел) (см. гл. 4). Поэтому, когда мы на плоскости {хо, уо) входим в область трех состояний равновесия через точку заострения, устойчивый предельный цикл будет окружать три состояния равновесия (он не может исчезнуть в сложном узле с аФО). Мы уже говорили о возможном рождении предельных циклов из сложных фокусов. При изменении параметров такие предельные циклы могут исчезать в петле сепаратрисы (или появляться из петлп).

Полных сведений об образовании петель сепаратрис и о расположении соответствующих бифуркационных кривых в пространстве параметров получить не удается, но все же некоторую информацию об этом можно получить с помощью систем, соответствующих общей точке кривых Д и о - точке М*. В этом случае система имеет двукратное состояние равновесия, для которого 0 = 0.

Как указано в § 4 гл. 10, при бифуркациях такого состояния равновесия возникает петля сепаратрисы. При значениях параметров, при которых точка М* лежит на нижней ветви кривой А (см. рис. 171, а, б), нетрудно видеть, опираясь на проведенное исследование характера состояний равновесия, что эта петля окружает левое состояние равновесия - узел или фокус. При значениях же параметров, при которых точка М* лежит на верхней части кривой а - при бифуркациях точки М*, появляется петля вокруг правого узла илп фокуса. Пусть параметры изменяются так, что от первого из указанных расположений

2-. (13)

2[га(1-л;) + (1 + ц) xf[n{i-x) + xf Выражение в числителе - квадратный трехчлен. Абсцисса его экстремума

лц -га+1 ""Чгац -га+1

т. е. находится вне интервала О < з; < 1.

Далее, нетрудно видеть, находя величину трехчлена при х = 0 или х = = 1, что при О < з; < 1 этот трехчлен положителен. Следовательно, функция,

при разрушении большой петли появляется предельный цикл, охватыва10ш;ий три состояния равновесия, и тогда мы будем иметь случай, когда суш;ествует два предельных цикла, охваты-ва10ш;их все три состояния равновесия (устойчивый предельный цикл не мог исчезнуть) (рис. 172, б).

Приложение I. Для кривой (7) имеем

Ч(0)=-оо, Ч(1)=+0,

т. е. кривая (7) имеет хотя бы один экстремум. Покажем, что только один. Для значений х, соответствующих экстремуму, получаем уравнение

[„ - 2пх + (га - 1) ф (г) + 2 [п (i-x) + xf х" (1 - X) фЗ {X)

или, что то же, уравнение

1 - га + 2пх - (га - 1) {х)~ 2[n(i~x) + x

Абсциссу максимума кривой (7) будем обозначать через х. Для того чтобы доказать, что это уравнение имеет только одпн корень, найдем производные от его левой и правой частей. Элементарные (но несколько д.чинные) вычисления показывают, что производные

d 1 ri(i~x) -Ix

dx ф (х) ф {х) {i- х)х

а производная от правой частп есть

-Т > 0.

[п (i-x) + xf

Следовательно, уравнение (13) имеет единственный корень.

Приложение II. Мы имеем для кривой y = f{x), /(0) == -оо, /(1) = О, и, следовательно, кривая имеет хотя бы один экстремум. Покажем, что только один.

Уравнение для определения корней производной f{x), как нетрудно видеть, есть

J - га + га (1 -Ь ц) X - (га - 1) \ix

ф (ж) - 2 [га (1 о:) + (1 + V-) X] [n(i~x) + x]

В левой части стоит убывающая функция, производная правой части "га (га - га -j- j, 4- 2) - 2(га - 1) {?Ц1 - га -- -- 1) ж 2 [га (1 - :.) + (1 + ц) xf [га (i - х) + xf

, (n~i){nii-n + i)x