l<d<3 кривая з(>с) имеет единственную точку пересечения с осью % ш в ней Чз(>с)<:;0. Существует единственный устойчивый предельный цикл, охватывающий состояние равновесия. При d=i производная з(О) обращается в нуль. Это соответствует стягиванию (при убывании d) предельного цикла к состоянию равновесия. При d<i циклов нет.

Бифуркационные кривые и разбиение пространства параметров Яо, d (при фиксированном "fo) на области с различным распределением корней функций i, 2 и представлено на

Рис. 146

Рис. 147

рис. 147. Штриховкой покрыты области, соответствующие существованию двух предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр. Узкой заштрихованной области внизу рисунка соответствует структура с двумя предельными циклами на верхнем фазовом полуцилиндре (с двумя корнями функции 4fi{%)= 0).

Проведенное в рассматриваемой задаче методом Понтрягина полное качественное исследование справедливо, конечно, лишь для достаточно малых ц, причем никакой оценки величины ц мы получить не можем.

Приложение I. Для Oi(x) = (2 - х) -2£ имеем

[£-(1-х)]~Ф*(х) и Ф*(и) = х>0.

Так как Ф*(0) = О и Ф*(х) О, то Ф*(х) О (и Ф (и) > о), но так как Ф1(0) = О и Ф(х)0, тоФ(х)0.

Приложение II. Обозначим фЕ - {i - Так как

фU) = •(F - О и Ф2(0) = О, то Ф2{х) 5= 0.

i - k

В рассматриваемом случае консервативная система, к которой близка рассматриваемая, та же, что и в примерах 2, 3 § 2, т. е. (см. рис. 138, а)

Я (ф, г/) - cos ф = А. (2)

Функция Понтрягина в этом случае имеет вид л я

J V N +у J J

где у, очевидно, определяется из уравнения (2).

Выражение для функции {h) после некоторых преобразований можно записать через эллиптические интегралы, полагая >i = 2l(h+ 1) в виде 2)

il)(/i) = ¥ (к) = 2л - - L (к) - AMNkK

Здесь F я Е, как и выще,- полные эллиптические интегралы первого и второго рода, л (к) - полный эллиптический интеграл третьего рода. Полученное выражение для {h) сложно, и его аналитическое исследование затруднительно. Мы приведем здесь лищь данные в [136] результаты просчета на ЭВМ функции ф,(/г)

) См. [136].

2) Здесь по сравнению со статьей [136] изменены обозначения.

Приложение П1. Обозначим Фз = 2(х-1)/?+(2 - k). Так как Фд (x) = Зх (i? - £) > О и Фз(0) = О, то Фд (х) > 0.

Приложение IV. Обозначим = (I - k)F + (2у,- i)E, имеем

Ф; (x) = Зх (2£ -Ф;(х) = 6(2£-Л--.

1 - л

функция Ф4(х) принимает на концах интервала О х 1 значения О и 1 и имеет внутри интервала единственный максимум Oi{Ko) = Е(ко) > I. Следовательно, Ф4(х) 0.

§ 3. Исследование методом Понтрягина с привлечением вычислительных методов.

Пример 1 (нелинейная система частотно-фазовой автоподстройки частоты с одинаковыми интегрирующими фильтрами в фазовой и частотной цепях)). Рассмотрим еще один случай, когда эта система приводится к виду dw dy . ,

к =0.0500

по формуле (3) при некоторых фиксированных значениях параметров M,N жк.

На рис. 148 в плоскости (ф, К) представлены кривые ф= просчитанные при Л= 1 соответственно для:

а) М=10 (штриховая линия);

б) Ш=1 (сплошная линия);

в) М=1 (штрихпунктирная линия).

Значения к, при которых проводился счет, указаны на рис. 148. Из рассмотрения графиков кривых, соответствующих М = 10 и М~7, видно, что система (1) при малых к имеет один устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр (в верхней части цилиндра). При увеличении к кривая if)() сдвигается вниз и при некотором значении к касается осп ф = 0. Это, очевидно, означает, что из уплотнения траекторий появляется полуустойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр, который при дальнейшем увеличении к разделяется па два - устойчивый (нижний) и неустойчивый (верхний). Для значения М = 10 при дальнейшем увеличенип к устойчивый цикл влипает в петлю сепаратрисы, охватывающей цилпндр (это происходит, if)(A) лежит на оси г: = 0), а

Рис. 148

когда левый конец кривой затем оставшийся неустойчивый предельный цикл сливается с устойчивым и этот двукратный цикл затем исчезает (это имеет место, когда максимум кривой 1) = г:(/г) попадает па ось il3 = 0). При М=7 сначала самый верхний устойчивый цикл сливается с неустойчивым, получившийся двукратный цикл исчезает, а затем, при дальнейшем возрастании к, оставшийся устойчивый цикл влипает в сепаратрису. При М = 1 ж малых к имеется устойчивый предельный цикл, который при увеличении к влипает в сепаратрису (охватывающую цилиндр). При достаточно больших к во всех рассмотренных случаях спстема (1) не имеет циклов, охватывающих цилиндр.

Из наличия указанных бифуркаций очевидно, что в рассматриваемой задаче в пространстве параметров заведомо существуют