ГЛАВА 12

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФАЗОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

§ 1. Цилиндрическая фазовая поверхность и характер траекторий, возможных на цилиндрической фазовой поверхности. Отображая поведение реальной динамической системы в фазовом пространстве, естественно требовать взаимно однозначного соответствия между состояниями системы и точками фазового пространства.

Существуют такие реальные системы, для которых плоскость не может служить фазовым пространством. Примером такой системы может служить обычный физический маятник, движение которого описывается уравнением

7ф + 6ф + mZ sin ф = 0. (1)

Состояние маятника определяется углом его отклонения от положения равновесия ф и скоростью ф. При изменении отклонения на 2л, мы получаем совершенно такое же положение маятника (физически ничем не отличимое от исходного).

Поэтому, если мы перейдем от уравнения (1) к системе

di/dt = г/, dy/dt = mgl sin ф, (2)

то на фазовой плоскости (ф, у), мы получим бесконечное множество точек, соответствующих одному и тому же физическому состоянию - это точки, у которых значения ф отличаются на 2л. Поэтому естественно эти точки отождествлять и рассматривать систему (2) на фазовом круговом цилиндре, отождествляя, например, прямые ф = О и ф = 2л. При этом, очевидно, движения маятника, при которых он делает проворот вокруг оси, будут отображаться траекториями, обходящими цилиндр.

Аналогичная картина имеет место для всех механических (или электромеханических) систем, положение которых определяется углом. Так как такие системы встречаются довольно часто, то использование цилиндрической фазовой поверхности представляет большой интерес.

Итак, в настоящей главе рассматриваются системы вида

йф/сг = Р(ф, у), dyldt ==Q{ip, у), (3)

) В случае, когда правые части - периодические функции обоих аргументов, систему естественно рассматривать уже не на цилиндре, а на торе, и при это.м возможный характер траекторий существенно усложняется.

) Этим двум типам замкнутых траекторий в конкретных системах соответствуют различные типы движений.

) Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр, очевидно, возможны и при отсутствии состояний равновесия у системы (3).

правые части которых - периодические функции ф с периодом 2я и непериодические функции г/ ). На плоскости (ф, у) картина траекторий будет полностью повторяться через 2л, и, как уже оказано, мы будем рассматривать траектории этой системы на круговом цилиндре, который мы получим из полосы плоскости между прямыми ф = фо и ф = фо + 2л, отождествляя точки этих прямых с одним и тем же значением у (или на полосе О Ф 2л).

Бесконечный цилиндр можно взаимно однозначно и взаимно непрерывно (т. е. топологически) отобразить па плоское круговое кольцо без границ (и на этом кольце координаты ф и у можно рассматривать как полярные координаты). Поэтому любое разбиение на траектории, заданное на цилиндре, может быть отображено на плоское кольцо (и может рассматриваться как заданное динамической системой, определенной на этом плоском кольце). а отсюда, очевидно, следует, что на цилиндре возможны те и только те типы траекторий, которые возможны па плоскости.

Однако, очевидно, мы будем различать замкнутые траектории, охватывающие цилиндр (которым на плоскости соответствуют замкнутые траектории, охватывающие границу кольца) и не охватывающие цилиндре). Точно так же при рассмотрении замкнутых контуров, составленных из траекторий (например, из сепаратрис седел), возможен случай, когда этот контур охватывает цилиндр, и когда он не охватывает цилиндр.

Для замкнутых траекторий, не охватывающих цилиндр, очевидно справедливы все рассмотрения, проведенные в гл. 5.

При рассмотрении замкнутых траекторий, охватывающих цилиндр, возникают некоторые отличия, поэтому мы остановимся на этом случае особо.

§ 2. Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр. Пусть Lo - такая траектория, и пусть 4> = t{t), у = i)()-решение системы (3), ей соответствующее. В этом решении обе функции уже не являются периодическими, как для случая замкнутой траектории на плоскости, а значит, и для замкнутой траектории, не охватывающей цилиндр, а, очевидно, удовлетворяют следующему условию: при некотором т > О )

Ф = Х( + х) = х(0+2я,

Если во всех точках замкнутой кривой, охватывающей цилиндр,

d(p/dt = P{(p, у)ФО,

то уравнение такой кривой после исключения t из уравнений (4) будет иметь вид

г/ = /(Ф),

где /(ф)- периодическая функция ф с периодом 2л, т. е.

/(ф)=/(ф + 2л). Так как в минимуме и максимуме функции у = {t)

Ф = <?(ф, t)=o,

то отсюда, очевидно, следует, что если ординаты изоклины

<?(ф, У)=0

ограничены, т ж М - соответственно наименьшая и наибольшая ординаты этой кривой, то, если система (3) имеет замкнутую траекторию, охватывающую цилиндр, эта траектория может лежать на цилиндре только в полосе

т у М.

Для изучения окрестности замкнутой кривой Lo, охватывающей цилиндр, так же как и в случае замкнутой кривой на плоскости, построим функцию последования на каком-нибудь отрезке без контакта, проведенном через точку Lo. В качестве отрезка без контакта всегда можно взять отрезок некоторой прямой Ф = фо (фо - постоянная), содержащий точку-обозначим ее через Мо - замкнутой траектории Lo.

Так как функция последования (и функция соответствия) всегда строится (ом. гл. 5) в направлении возрастания t, то нетрудно видеть, развернув цилиндр на плоскость (ф, у), что функция последования на отрезке I прямой ф = фо строится либо как функция соответствия между отрезком ф = фо и конгруэнтным ему отрезком прямой ф = фо + 2л, либо как функция соответствия между отрезком I и конгруэнтным ему отрезком прямой Ф = фо - 2л.

Пусть S - параметр на отрезке I и

S = aiS + (X2S + OLzS + . ..

- функция последования на нем (т. е. на плоскости (ф, у) - функция соответствия между указанными выше отрезками). Очевидно, так же как и в гл. 5, грубый предельный цикл - это замкнутая траектория, для которой ai 1. Предельный цикл, охватывающий цилиндр, устойчив, если ai < 1, и неустойчив, если ai > 0.