Очевидно, принимая во внимание замены переменных, с помощью которых мы пришли к системам (Bj) и (Вг) соответственно, система (Bi) рассматривается при < О, а система (Вг) - при > 0. При ЭТОМ

Р (I, Т)) = 202 А2 +

Q*{1*, if) = Bl,l* + Bl,l*yf + Bl,rf +

Aa - 20 +

d - a

d - a ~26"

- + 202 «). Л2 = «02(-),

*ii-

"20 - 2(0 20

n d - a . , i oj, - Д R - a , h - "2ш~ 1 " 02 2& 02 - 2(0 02 02

Выражения для 02, ii и 20, -02 и B*i могут быть по-

лучены из выражений для А02, Аи, А20 и В20, В02 и В\\ соответственно заменой «го, «п, «ог, а, Ь и ш через Яго, 02, t**-Переходя к полярным координатам соответственно как в системе (Bi), так И в системе (Вг), полагая

I = р cos ф, т) = р sin ф

И соответственно

Ъ,* = р* cos ф, т)* = р* sin ф,

мы получим два уравненпя в полярных координатах: одно - для системы (Bi):

= р/?1(ф) + р2/?2(ф)+

(Rl)

определенной при значениях л/2 < ф < (3/2)я, и другое - для системы (Вг):

ф*/йф = р*/?: (ф) -ь р«/?2* (Ф) + .. •, (R2)

определенной при значениях (3/2)я < ф < (3/2) л + я. Здесь

В (Ф) = о 1(0 = Ь„ В1 (ф) = а* 1(0* = bl /?2 (ф) = Ai cos ф + 2 cos ф sin ф + As cos ф sin ф + 4 sin Ф, В1 (ф) = А* cos ф + Л* cos ф sin ф + cos ф sin ц> + Al sin ф.

Л, = 4 [а,, - в,, -2-), а, = ± [а,, + 50 + (20 - 5n)J, = 4- [Л2 + 11 + - 02)]. 4=4- (02 + 02),

а:= (2*0 - < 2* = [п+2*0+S- (л;, - в:,),

Решение уравнения (ri), определяемое начальными условиями р = ро при ф = л/2, может быть записано в виде ряда по степеням ро, сходяш;егося при всех л/2 < ф < (3/2) л:

р = «1 (Ф) ро + "2 (Ф) ро + • •. (3)

Подставляя правую часть (3) в уравненпе (ri), мы для определения М((ф) получим рекуррентные дифференциальные уравнения

dujdff = UjB, duldp = «2-1 + «i-2 • • • (4)

с начальными условпями (см. гл. 3 § 5)

Ml (я/2) =1, Mi (я/2) = О, г>1.

Б частности,

И1(Ф)= ехр[-(ф--)}.

Полагая в решении (3) ф=(3/2)я, получим функцию соответствия между отрезками полупрямых (с концом в начале О) т] >0 (ф = я/2) и Т1.<0 (ф=(3/2)я):

рх = cipo + «2р0 + •..

Решение уравнения (r2) с начальными условиями р* = р* при Ф =(3/2) я также иш;ем в виде ряда

р* = «t (Ф) Pt + и* (Ф) рГ-Ь ;(3/2)я<ф<(3/2)я-ь я,

где щ (ф), находятся из рекуррентных уравнении, полностью аналогичных уравнениям (4). Подставляя ф = (3/2) я -Ь я в (ф), получим функцию соответствия между отрезками полупрямых т,<0 (ф=(3/2)я) и т)>0 (ф=(3/2)я-Ья):

* * * , * «2

Рз =aipi -baapi + ...

Из формул линейных преобразований (1) и (2) очевидно, что при ф = я/2 и ф=(3/2)я = 0, а т) = р и т)* = р*. Отсюда 24*

нетрудно видеть, что

* 6* со „ „* 6* со

Подставляя в (6) с учетом формул (7) выражение (5), мы получим, как нетрудно видеть, функцию последования на отрезке прямой Т1 > О (с концом в начале) для сшитой системы в окрестности сшитого фокуса:

р2 = aia*Po -f (ala + -y-«i«2) Ро + • • • = ipo + «гРо + • • •

Вычисления дают

= Д+ь*)я

Очевидно, сшитое состояние равновесия О будет негрубым, сложным сшитым фокусом, если

«1 = 1, т. е. -Ь i-i = О,

и сувцествует хотя бы один коэффициент функции последования Ф 0. Характер устойчивости сшитого фокуса при этом определяется первым не равны нулю коэффициентом {к>2). Отметим, что, в то время как в силу теоремы Ляпунова для аналитических систем в случае, когда фокус сложный, т. е. первый коэффициент функции последования (ki) равен единице, одновременно обращается в нуль и второй («г) (так что ляпуновская величина, которая определяет устойтавость и неустойчивость сложного фокуса, может быть только аз), в случае сшитого фокуса из обращения ai в едини];у не следует одновременное обращение в нуль ад: при ai = 1 ад может быть как не равным нулю, так п равным нулю. Отметим также, что сложный сшитый фокус может сшиваться как из двух сложных (аналитических) фокусов, так и пз двух грубых фокусов, для которых

bi + bl = 0, 4-1 = а/со, b* = о*/а*.

Приведем выражение для ад через коэффициенты частичных систем (I) и (И):

Х[-6А,- 2A,b, - Л (3 -Ь bl) - А, {bl + 7b,)] +