Сделаем еще одно замечание, которое бывает весьма полезным в ряде случаев.

Пусть Lo - предельный цикл - устойчивый, неустойчивый (простой или сложный) или иолуустойчивый. в любой достаточно малой его окрестности, именно в любой такой окрестности, которая ие содержит ни состояния равновесия, ни отличных от него предельных циклов, всегда могут быть построены циклы без контакта, как лежащие вне Lo (содержащие Lo внутри), так и лежащие внутри Lo (рис. 67).

§ 5. Аналитические выражения для коэффициентов функции исследования. Характеристический показатель замкнутой траектории. Аналитические выражения для коэффициентов а,- могут быть найдены методом, полностью аналогичным тому, которым находятся ляиуновские величины (см. гл. 3).

Пусть

x = ff(t), у = 1р(0

- движение, периодическое с периодом т, соответствующее рассматриваемой замкнутой траектории Lo. В окрестности Lo вводится криволинейная система координат с помощью формул

а; = ф(и)+ 1лз(и), у = ар{и)-уц>{и).

Прямые и = const являются нормалями к замкнутой траектории Lo и, следовательно, не имеют контактов с траекториями, достаточно близкими к Lo, а кривые V = const - замкнутыми кривыми (кривая у = О совпадает с Lo) (рис. 68). Якобиан преобразования (2) при v = 0 отличен от нуля *).

функция последования на отрезке нормали м = О может быть найдена совершенно аналогично тому, как это делалось в окрестности фокуса. После перехода в системе (А) к координатам и ИРИ исключения t мы получаем соответствующее системе (А) дифференциальное уравнение

dv/du = ф(и, v) =

= Ai{u)v + A2{u)v + ..., (3) Рис.68

*) Криволинейные координаты ц и у во многом аналогичны полярным координатам. Координата и циклическая.

Которое дает уравнение траектории в координатах и, v (уравнение замкнутой траектории Lq есть v = 0). Выражение коэффициентов Ai{u) через функции Р{х, у) и Q{x, у) может быть найдено. В частносид

Ai (и) = Р; (ф (и), ip (и)) + Qy (ф (и),(и)) -

-[1п(ф-(и)+ ,],-(«))]. (4)

Решение уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям (о, Vq)

v = f{u; о, Vq),

является аналитической функцие: Vq и может быть разложено в ряд по степеням vq:

v = f{u; О, Vg) = ai {и) v -Ь 2 (и) Уо + ...

Подставляя (ср. § 5 гл. 3) это выражение в уравнение (3), получаем тождественное равенство

«1 (и) Vq + a2iu)vl + ... = Ai (и) (»! (и) -Ь 2 («) fo + ...) +

+ 2 {и) {и) Vo + a{u)vl + ...у + ...

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях vq, получаем рекуррентные уравнения для определения а,-(и):

di{u) = Ai{u)ai{u),

d2{u)= Ai{u)a2iu)+ А2{и) {ai{u)), (5)

аз{и) Ai(u)a3iu)+2A2(u)ai{u)a2(u) + A3{u) {ai{u)),

Начальные условия для определения ai{u) из этих уравнений мы получаем из очевидного условия /(0; о, vq)=vq, откуда

а,(0)=1, а,{0) = 0, f>l.

Функцией последования на отрезке и = 0, очевидно, является функция

i; = /(t; о, Vq),

где т - период на замкнутой траектории. Возвращаясь к обозначениям § 4, мы можем написать

s=f(r, о, s) = /(s),

причем S = О соответствует замкнутой траектории Lq. Далее,

ai = ai(t) = f(0)/i!.

= ехр Выражение

/1 = - т

[Р; (ф (и), гр (и)) + Qy (ф (и), гр (и))]

называется характеристическим показателем замкнутой траектории Lf).

Очевидно, ai = е*, и, следовательно, предельный цикл устойчивый, если h<0, ж неустойчивый, если h>0. При этом ai = 1 Torga и только тогда, когда h = 0, и только в этом случав (ai = l) предельный цикл является сложным.

Величина ai = е" называется мультипликатором предельного цикла.

Для первого коэффициента ai мы получаем из уравнений (5)

= (т) = ехр 1 {и) du , или, принимая во внимание выражение (4) для Ai{u),

i [Рх (Ф {и), гр (и)) + Qy (ф (и), гр (и))] du .