2nv +

128 k* - k + i

15 fc5

64 ЗГ-А:«-2 15 fc5

2nv -

/ 128 fc* - fc + 1

15 fc5

3k-k*-2

Здесь F{n/2, k) и E{n/2, k)-полные эллиптические гнте-тралы первого и второго рода и введены обозначения

v = r/p, а = (а + Р)/р, А:2 = 2/(Л+1), К Л< оо.

Значения константы ho, выделяющие кривые С/, консервативной системы, охватывающей состояние равновесия, определяются как корни уравнения

аФ-) = .[ j {рч> + qy) dcp dy = - {а + Р cos 2ф - ysin ф) dj/ =

= - 2 /2р j (о - 2 sin2 ф /соз (р + h) dtp =

-Ро

= - 16Р {[о - (16/15) (X* - х2 + 1)] (л/2, X) -Ь [о (к2 - 1) -

- (8/15) (Зк2 - X* - 2)] F (1/2, лк)}, x2=i(/i+1)/2, -1<й<1, фо = arccos (-Л).

Корни уравнений i)i(/i) = 0, iJ)2(A) = 0, 1))з(Л) = 0 зависят от двух параметров с; и v. В плоскости (с;, v) можно получить разбиение на области, соответствующие различным возможным распределениям корней уравнений. Каждому распределению будет соответствовать определенная структура разбиения фазового пространства на траектории. Следующий набор условий (каждому условию соответствует некоторая кривая в плоскости (с;, v)) определяет все возможные в системе (9) бифуркации:

1) азз(-1) = 0, 2) a3i(oo) = 0 или а32(оо)=0,

3) з(1) = 0, 4) .pi(l) = 0, 5) al32(l) = 0,

6) i{h) = 0 и [{h) = 0,

7) i32W = 0 и я>;(/1) = 0,

Положим для определенности Р > О, v > О и будем рассматривать верхнюю полуплоскость (о, v) (при v<0 получаем разбиение пространства параметров, симметричное области v > О относительно оси о). В этом случае уравнение Tfii(ft) = 0 имеет не более одного корня, 2{h) = 0 и 1зз() = 0 -не более двух корней. Перечисленному набору условий соответствуют следую-гцие уравнения граничных кривых и бифуркаций:

1. 0 = 0 - при возрастании о из фокуса появляется неустойчивый предельный цикл.

2. 0 = 1 - при возрастании о устойчивый предельный цикл появляется из при убывании о неустойчивый предельный цикл появляется из - о°.

3. о = 16/15 = 1,066...- при возрастании о из сепаратрисы седла появляется устойчивый (так как в седле + Qy = S - р,ро <; о) предельный цикл, охватывающий состояние равновесия.

4. 2nv - 8о + 128/15 = 0 - при убывании о от петли сепаратрисы на верхнем полуцилиндре появляется устойчивый предельный цикл.

5. 2nv + 80 - 128/15 = о - при возрастании о от петли сепаратрисы на нижнем полуцилиндре появляется неустойчивый (если - Рро>0) или при убывании о от петли сепаратрисы появляется устойчивый (если -рРо<0) предельный цикл.

6. При V > о кривая не существует (в верхнем полуцилиндре не может быть двух предельных циклов при v >0).

7. Если обозначить 1з2(/г) = Р [2nv + 0Ф1 (ft) - Ф2(й)] = 0, то параметрические уравнения кривой будут

ф; (h) jh) Ф[ jh) - ф; (h) ф (h)

Ф[{к) 2яФ(Л)

Кривая проходит между точками А{0, (128/30)л~= 1,36) и 5(1, 0). При возрастании о двойной предельный цикл, возникший на нижнем полуцилиндре из сгущения траекторий, разделяется на два (нижний-неустойчивый, верхний - устойчивый) .

8. Из il:3(ft) = -16p[T,(ft)o-T2(ft)] = 0 и pз{h) = 0, исключая о, получаем уравнение для определения ft. Уравнение 21 - 21 = О имеет единственный корень ft = 0,86, соответствующий 0 = 1,09. При возрастании о исчезает двойной предельный цикл, охватывающий состояние равновесия.

Разбиение пространства параметров о, v на области, которым соответствуют различные качественные структуры разбиения фазового пространства, представлено на рис. 244. Штриховкой отмечены две тонкие области, для точек которых в фазовом пространстве есть два предельных цикла.

Исследование системы (9) при полигональных и разрывных характеристиках может быть аналогично проведено методам малого параметра (см. гл. 18) [66].

Система (9) с полигональными характеристиками (см. рис. 243, б) и малым параметром р имеет при р = О интеграл

(- (ф + пум - л < Ф < - л/2,

ф2/я-я/2 =ft, -(ф-я)7я

Н{ср,у) = \ +

- я/2<ф<я/2,

я/2<: ф<:я.

(12)

Рис. 244

Замкнутые кривые семейства (12) при -я/2</г<0 охватывают особую точку, при О < /i < о° - фазовый цилиндр. Состояния равновесия при р=?0 смещены с линии сшивания и будут 0,((1/2)рГя, 0)-фокус и 02(я -(1/2)рГя, 0) -седло.

Приведем (в том же порядке, что и для (10)) уравнения границ в пространстве параметров о и v:

1) 0 = 0, 2) 0=1,

3) о-(4У2/3)(1 + я/4)- = = 1,056...,

4) 2яу-(У2/2)яЗ/2(Ц-+ я/4)о + (4/3)яЗ/ = 0,

5) 2яу+>(У2/2)яЗ/2(1 + + я/4)о-(4/3)яз/2 о,

6) при V > о не существует,

7) кривая проходит между точками .4(0, (2/3) Уя = и 5(1, 0),

8) 0 = 1,07...

Разбиения фазового пространства и пространства параметров для полигональных характеристик останутся качественно тождественными разбиениям для характеристик рис. 243, а. Сохранятся и тонкие области, для точек которых в фазовом пространстве есть два предельных цикла. Их размеры лишь незначительно изменятся. На рис. 245, а, д представлены разбиения цилиндрического фазового пространства соответственно для областей i и 2 рис. 244.

Для полигональных характеристик (см. рис. 243, б) качественно эквивалентные рис. 245, а, д разбиения фазового пространства будут соответствовать областям пространства параметров, расположенных, как и на рис. 244, в полосе 0<а<1. Для обеих рассмотреппых аппроксимаций уравнения (9) области i и 2 в пространстве параметров будут разделены узкой полосой, для точек которой в фазовом пространстве есть два предельных

1,26...>