размерность меньшую, чем множество кривых первой степени негрубостп. Можно показать, что все границы грубых областей пространства (С) достижимы.

Указанная разница между свойствами границ грубых областей в пространстве кривых (С) и в пространстве динамических систем Ra является несомненным отражением того обстоятельства, что, наряду с большими аналогиями, между ними существуют и существенные различия. Мы не можем здесь останавливаться на этих, с нашей точки зрения, весьма интересных вопросах.

Значения параметров XJ, ...,Я", соответствующие негрубой системе (прп которых точка Xl,kl....,Xn лежит хотя бы на одной пленке, разделяющей две различные грубые области), будем называть бифуркационными значениями параметров, а изменение качественной структуры, которое происходит в системе (Ая.) при переходе ог бифуркационных значений параметров к грубым значениям параметров, как и в гл. 10, будем называть бифуркацией. Разбиение пространства параметров на «грубые области» и разделяющие их пленки, соответствующие негрубым системам, называется бифуркационной диаграммой.

В § 2 гл. 10, рассматривая исходную негрубую систему, мы устанавливали все возможные бифуркации ири переходе ог этой негрубой системы к любым достаточно близким грубым системам пространства.

Однако для задач из приложений при расслюгрении бифуркаций основной интерес представляет следующий вопрос: какова последовательная смена качественных структур при изменении параметров вдоль кривой в пространстве параметров, проходящей через бифуркационное значение параметров и переходящей из одной грубой области в другую?

Следующий параграф посвящен рассмотрению указанной смены качественных структур.

§ 2. Смена качественных структур ири изменении параметров. Рассмотрим подробно случай, когда правые части системы содержат один параметр Я, так что система имеет вид)

dx/dt Р{х, у, X), dy/dt = Q{x, у, %). (ВО

Пусть значение Я = Яо является бифуркационным, а все достаточно близкие к Яо значения Я Яо соогвегсгвуют грубым системам (причем качественные структуры грубых систем при Я < Яо и Я > Яо различны). Рассмотрим сначала (как и в гл. Ю) случай, когда значению Яо соогвегсгвует система первой степени не-

2) Мы предполагаем, что система (Вх) определяется прп значениях х т у ъ некоторой ограниченной области G и при значениях Я, Я* < Я < %**, где, в частности, Я* может быть - оо, Я** мончет быть -)- оо.

грубости, г. е. когда система (1) имеет один из негрубых особых элементов следуюпего характера (см. гл. 9, 10): I. Двукратное состояние равновесия седло-узел. П. Сложный фокус первого порядка.

III. Двойной предельный цикл.

IV. Сепаратрису, идупую из седла в седло, причем в случае, когда она идет из седла 0{хо, уо) в го же сед.ло (образует петлю), седловая величина Ос не равна нулю:

Ос = {Хд, Уд) + Qy (Жд, Уд) ф 0.

Рассмотрим последовательную смену качественных структур в некоторой достаточно малой окрестности (в ео-окрестности, где ео - надлежапим образом подобранная величина) негрубого особого э.леменга в каждом из указанных случаев; значения "к рассматриваются в достаточно малом промежутке (Я -Яо1<бо), и при этом я изменяется от значений Я < Яо к значениям Я > Яо. Величина ео подбирается гак, чтобы в ео-окрестности рассматриваемого особого негрубого элемента типа I-IV не лежал целиком больше ни один особый элемент системы а бо - гак, чтобы при значениях Я -Яо1<бо Яо было единственным бифуркационным значением. Величины ео > О и бо > О имеют тог же смысл, что и в предложениях гл. 10.

Отметим ente, что в случае, котда система (В,,) при Я = Яо является системой первой степени негрубости, смена качественных структур в окрестности негрубого особого элемента (типа I-IV) однозначно определяет смену качественных структур во всей области определения G системы (В»,).

I. При Я = Яо система (В/.) имеет двукратное состояние равновесия седло-узел О (г. е. состояние равновесия, для которого Д = О и величина оФЩ.

Возможны следуюпие случаи смены качественных структур:

а) При Я < Яо (1Я -Яо1 < бо) в окрестности О нет ни одного состояния равновесия, при Я = Яо появляется седло-узел (из «сгупения траекторий»), при Я > Яо седло-узел разделяется на седло и узел.

б) При Я<.Яо в окрестности О находятся два грубых состояния равновесия (седло и узел), при Я = Яо они сливаются в сложное двукратное состояние равновесия седло-узел, которое при Я > Яо исчезает (см. рис. 99 гл. 10, а также рис. 119 гл. 13).

II. При Я = Яо система (В/.„) имеет сложный фокус первого порядка (т. е. состояние равновесия 0(Яо)) с чисто мнимыми характеристическими корнями

2) Эти случаи - смены устойчивости фокуса - представляют особеииый интерес для приложений.

*) Очевидно, если бы мы изменяли Я в противоположном иаправлеиии, то при этом мы сказали бы, что неустойчивый цикл рождается из сложного неустойчивого фокуса.

И первой ляпуновской величиной, отличной от нуля (см. § 5 гл. 3):

L, = аз(Яо) 0.

При всех достаточно близких к Я значениях ХФКа (Я -Яо1 < < бо) в ео-окрестности сложного фокуса 0(Яо) существует грубый фокус 0(\), который при изменении Я от значений Я < Яо к значениям Я > Яо из устойчивого делается неустойчивым ).

Таким образом, если а(Я)+ф(Я), ее (Я)-ф (Я)-характеристические корни фокуса О (Я), то при всех Я, Я - Яо1 < бо,

(Я)0, ((Яо)=о),

при Я<Яо а(Я)< О, при Я> Яо а(Я)> О, а(Яо) = 0.

В зависимости от знака Li = осз, т. е. в зависимости от того, является ли сложный фокус устойчивым или неустойчивым, возможны следующие случаи смены качественных структур в окрестности 0(Яо):

а) Ll < 0. При всех Я < Яо (достаточно близких к Яо, Я -Яо1 < бо) в ео-окрестности 0(Яо) существует устойчивый фокус О (Я) (г. е. при Я<Яо, а(Я)<0) и не существует ни одной замкнутой траектории.

При переходе через значение Яо из сложного устойчивого фокуса 0(Яо) появляется единственный устойчивый предельный цикл, а фокус при Я > Яо делается неустойчивым (г. е. при Я < <Яо а(Я)>0) (см. рис. 117 гл. 13);

б) Ll > 0. При всех Я<Яо (1Я -Яо1<бо) в ео-окрестносги 0(Яо) существует устойчивый фокус О (Я) (при Я < Яо а(Я)< <0), окруженный неустойчивым предельным циклом.

При Я Яо этот неустойчивый предельный цикл сжимается и при Я = Яо влипает в состояние равновесия О (Яо), которое теперь является неустойчивым фокусом. При Я > Яо фокус становится грубым неустойчивым (а(Я)> 0). При Я > Яо в окрестности нет предельных циклов (см. рис. 118 гл. 13)*).

При обратном изменении Я (от значений Я > Яо к значениям Я < Яо) смена качественных структур, очевидно, происходит в обратном порядке.

Не представляет также груда соверщенно аналогично описать смену качественных структур, когда при изменении Я от значений Я > Яо к значениям Я < Яо фокус из неустойчивого делается устойчивым.

Замечание 1. Из проведенного рассмотрения очевидно следует, что сведений о смене устойчивости фокуса (г. е. знания