Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ 12 ] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

2°) Геометрические образы, которые могут быть получены друг из друга топологическим отображением, называются гомеоморфными.

Отметим, что фокус и узел топологически тождественны, т. е. всегда можно указать такое топологическое преобразование плоскости в себя, при котором узел преобразуется в фокус и наоборот, гбо.метрически этот факт совершенно нагляден.

рассмотренных примерах (справедливость этого факта может быть доказана, например, на основании свойств пересечения траекторий с дугой без контакта - см. гл. 2).

Поэтому по исследованию «в малом» мы не можем получить сведений о качественной структуре «в целом» (это иллюстрируется на рис. 16, на котором «в малом» в окрестности всех точек (в том числе и являющихся состояниями равновесия) качественная структура одинакова, а «глобально»- различна).

Прежде чем переходить к более детальному описанию свойств качественного характера как отдельной траектории, так и всего разбиения на траектории в целом (которое приводится в следующей главе), уточним понятие качественной (топологической) структуры разбиения на траектории.

§ 14. Математическое определение качественной (топологической) структуры разбиения на траектории и качественного исследования динамической системы. Для того чтобы привести соответствующие математические определения, напомним прежде всего использующееся при этом понятие топологического отображения плоскости в себя (или в другую плоскость) или области в себя (или в другую область). Топологическим отображением (или гомеоморфизмом) плоскости (области) в себя называется взаимно однозначное и двусторонне непрерывное отображение плоскости (пли области)2°).

Если дана динамическая система (А), то она определяет (на плоскости или в рассматриваемой области плоскости) некоторое семейство траекторий, или, в другой терминологии, некоторое разбиение на траектории.

При всевозможных топологических отображениях плоскости в себя вид траекторий данной системы (А) может сильно измениться. Но некоторые черты разбиения на траектории остаются неизменными, или, иначе, топологически инвариантны-м и: например, замкнутая траектория продолжает быть замкнутой, незамкнутая - незамкнутой, остается число и взаимное расположение замкнутых траекторий, состояний равновесия; остается неизменным характер состояний равновесия и т. д.).

Уточнение понятия качественной картины фазовых траекторий или, в другой терминологии, топологической структуры pa.J-биения на траектории дается следующим образом.

Определение. Две топологические структуры, или, что то же, две качественные картины разбиения фазовой плоскости на



траектории (или некоторой области плоскости на траектории), заданные двумя системами вида (А), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно однозначное и непрерывное) отображение плоскости в себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой (при этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении).

Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории ).

Можно сказать, что иод топологической структурой разбиения на траектории (илн, что тоже самое, иод качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения,



которые остаются инвариантными при всевозможных топологических отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше.

Полное качественное исследование заключается в установлении всех таких свойств. Очевидно, можно также говорить о неполном качественном исследовании. Такое исследование может, например, заключаться в установлении характера состояний равновесия, установлении наличия хотя бы одной замкнутой траектории и т. д. Естественным образом возникает вопрос о том, что

) «Косвенными» определениями являются, например, также определения функций, мощности множества и т. д.



§ 14] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ 39

нужно знать для полного определения качественной структуры разбиения на траектории. Этот вопрос для весьма широкого, в основном имеющего интерес для приложений, класса динамических систем рассматривается в гл. 2.

Качественное исследование динамической системы (дифференциального уравнения) нельзя рассматривать как некоторый суррогат количественного исследования, который заменяет отыскание аналитических выражений для решения в том случае, когда это трудно сделать 2).

Отметим, что качественное исследование динамической системы может оказать помощь при численном решении, так как оно может помочь сознательно, не вслепую разобраться в том, приближенное вычисление каких именно решений представляет интерес.

На рис. 17, а приведены две непохожие, но топологически тождественные структуры, на рис. 17, б -две похожие, но топологически различные структуры.

23) Знание аналитических выражений для интегралов, как уже указывалось, просто несколько изменяет задачу качественного исследования, но ни в какой мере не дает непосредственного ее решения.




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ 12 ] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.3862