ную точку М{хо, г/о), полярные координаты которой (ро, 9). Исключая t - fo из (15), получаем

а(е-е„)

(16)

Уравнение (16) дает, очевидно, все траектории системы (12), Если ро=50, эти траектории являются логарифмическими спиралями. При Ро = О получается состояние равновесия 0(0, 0).

Первое из двух уравнений (15) показывает, что все траектории стремятся к состоянию равновесия О при t ->- +<», если а < О (рис. 9), и при --оо, если а>0 (рис. 10). Состояние равновесия такого типа, как в данном примере, называется фокусом.

Рис. 9

Рис. 10

устойчивым в случае а < О и неустойчивым при а > О (точное определение фокуса будет дано в дальнейшем). Рассмотрим уравнение

dx dy

- у-\-ах ~ х-\-ау

соответствующее системе (12). Оно очевидно является однородным. Интегрируя его (с помощью подстановки у/х = и или х/у = и), мы получим соотношение )

+ ce2""*8Wv)=o. (18)

Первое из этих соотношений является общим интегралом системы (в смысле § 10) во всякой области, не содержащей точек оси,л; (т. е. точек х = 0), а второе - во всякой области, не содержащей точек оси у =0. Однако ни одно из этих соотношений не является в строгом смысле слова общим интегралом системы в области, содержащей точку О. «Целую» интегральную кривую.

*) Очевидно, что мы можем получить эти соотношения также из уравнения траекторий в полярных координатах, возвращаясь от них к координатам X а у.

расположенную в такой области, можно получить, «склеивая» куски кривых (17) и (18).

Рассмотрим интерпретацию в трехмерном пространстве. Как и в предыдущем примере, ось t является интегральной кривой системы (12) в пространстве {х, у, t). Остальные интегральные

кривые расположены на цилиндрических поверхностях, имеющих своими направляющими спирали (16), а образующими - прямые, параллельные оси t. Эти интегральные кривые асимптотически приближаются к оси t при t ->- если а < О, и при t -оо, если а > 0.

Отметим, что хотя формы траекторий в примерах 3 и 4 при а < О, 6 < О и а<0 (а>0, 6>0 и а>0 соответственно) существенно отличаются, но в некотором смысле поведение .траекторий в том и в другом случаях одинаково: именно, в обоих примерах все отличные от состояния равновесия траектории при t +оо (или t -оо) стремятся к состоянию равновесия. Пример 5.

dx/dt = -y, dy/dt = х. (19)

Эта система получается как частный случай системы (12) при а = 0. Решения, соответствующие начальным значениям хо, г/о, о, имеют вид

x = xocos{t - to) - г/о sin (i - to), у = xosin{t- to) + Уо cos{t - to).

Рис. 11

(20)

Непосредственной проверкой (или используя (20)) нетрудно убедиться, что

+ у = С

(21)

является общим аналитическим интегралом системы. Таким образом, в этом случае система имеет аналитический интеграл.

Траекториями системы, очевидно, являются состояние равновесия 0(0, 0) и замкнутые траектории - концентрические окружности с центром в начале (рис. 11). Решения (20), соответствующие замкнутым траекториям - окружностям, являются периодическими функциями с шериодом 2я.

Интегральными кривыми в трехмерном пространстве {х, у, t) являются ось t и винтовые линии, расположенные на круглых цилиндрах с направляющими (21). Шаг каждой винтовой линии равен 2л.

Пример 6.

dx/dt = -x, dy/dt = у. (22)

Векторное поле изображено на рис. 12. Решение системы, соответствующее начальным значениям хо, уо, to, имеет вид

х = х„е

(23)

-о у - Уо

Точка 0(0, 0)- состояние равновесия. Система имеет аналитический интеграл

ху = С. (24)

Интегральными кривыми являются при СФО гиперболы (24) и при С = О - координатные осп х = О и у = 0. Каждая гипербола состоит пз двух траекторий (ее ветвей), и каждая пз координатных осей - из трех траектории (состояния равновесия О и

Рис. 12

Рис. 13

двух полуосей). Соответствующее разбиение на траектории указано на рис. 13.

Из выражений (23) очевидно, что траектории, являющиеся полупрямыми оси X (получающиеся из (23) при г/о = 0), стремятся к состоянию равновесия при t +°о, а траектории, являющиеся полупрямыми оси г/,-при t-°о Других траекторий, стремящихся к состоянию равновесия О, система не имеет.

Состояние равновесия такого типа, как у данной системы, называется седлом: Траектории, стремящиеся к седлу О, в данном случае четыре полуоси х = Ожу = О, называются сепаратрисами седла.

Траектории, сколь угодно близкие к точке сепаратрисы, стремящейся к О при t -boo -оо), при неограниченном возрастании (убывании) t удаляются от этой сепаратрисы. Обратим внимание на то, что такое поведение траекторий, очевидно, ни в какой мере не противоречит теореме 5 § 7 (о непрерывной зависимости от начальных условий), так как эта теорема рассматривает поведение близких траекторий только на конечном проме-

3 н, Н. Баутин, Е. А. Леонтович