ся дугой без контакта, может быть определена функция последования (точечное отображение). Эта функция последования, очевидно, может быть составлена из нескольких функций соответствия между дугами линий сшивания, которые последовательно пересекает рассматриваемый сшитый предельный цикл. Пусть и - параметр, на одной из этих дуг линии сшивания строится функция последования и

м = d{u);

эта функция последования в окрестности предельного цикла прп сделанных нами предположениях является аналитической функцией.

Пусть предельному циклу соответствует значение и = щ:

По = d{uo).

Так же, как и в случае предельного цикла аналитической системы (см. гл. 5), сшитый предельный цикл является грубым, если d{iio)i. Сшитый грубый цикл устойчив, если d{uo)<0, и неустойчив, если d{uo)>0. Если d(ito)=l, то сшитый предельный цикл является сложным, и так же, как и в случае аналитической системы, мы можем говорить о кратности сшитого предельного цикла. Именно, если

d(Mo)=l,

а среди следующих производных от функции последования первая, не равная нулю производная есть

то будем говорить, что рассматриваемый сложный цикл является к-кратным.

Пусть сшитая динамическая система зависит от параметров pi, ..., р„. Как II выше, мы будем предполагать, что правые части частичных динамических систем (А,) зависят от параметров р, аналитически, и линии сшивания не зависят от параметров.

Пусть при значениях pj, р" параметров у рассматриваемой системы существует сшитый предельный цикл, и пусть

u = d{u, ц\, ц1)

- функция последования в его окрестности, определенная на некоторой линии сшивания при значениях ui и U2, причем предельный цикл соответствует значению и = ио. Тогда на той же линии сшивания ири тех же значениях щ и U2 и всех достаточно близких к р? значениях также существует функция последования, и эта функция является аналитической функцией и и. ц,. В отношении сшитого А;-кратного предельного цикла

2) Пример сшитой системы, у которой появляется двукратны!! сшитый предельный цикл, который затем разделяется, см. [3, § 4 гл. 8] (а также гл. 18-20 настоящей книги).

справедливы утверждения, полностью аналогичные утверждениям, сделанным по поводу кратного цикла аналитической системы.

Именно, из такого цикла при изменении д„- может рождаться не более к предельных циклов, и ири некотором вхождении параметров в правые части может рождаться к предельных циклов.

Если рассматриваемый сложный цикл четнократпый

(А; = 2х), в частности, двукратный (и = 1), то, так же как и в случае аналитической системы, ири изменении д,{ от него может либо родиться два предельных цикла, либо он остается двукратным, либо в окрестности Lq не будет ни одного цикла - двукратный цикл исчезает. Очевидно, таким образом, что сщитый двукратный цикл, так же как и аналитический, может возникнуть из уплотнения траекторий).

4. Сепаратриса, идущая из седла в то же седло (образующая петлю сшитой системы) и ее бифуркации. Предположим, как п в предыдущем случае, что при неизменных линиях сшивания частные системы зависят от параметров л< (г = 1, 2,..., к). Пусть при значениях = [х? у рассматриваемой сшитой системы существует сшитая сепаратриса, идущая из седла О в седло О. Тогда по поводу возможных бифуркаций при изменении параметра такой сепаратрисы можно повторить все сказанное относительно аналогичной сепаратрисы аналитической системы.

Пусть теперь при значениях jaj = ja" у рассматриваемой сшитой системы существует сепаратриса (сшитая), идущая из седла (9 и возвращающаяся в то же седло О, т. е. сепаратриса, образующая петлю.

Мы предположим, кроме того, что седло О либо лежит целиком в одной из областей G{, либо лежит на границе G{, но седловая область, принадлежащая внутренности петли, является сшитой.

Пусть седло О, входящее в рассматриваемую сшитую петлю сепаратрисы, принадлежит системе

а;= Pi{x, у, xS, ..., \ik), yQi{x, у, h);

пусть Жо, г/о - его координаты.

Рассмотрим седловую величину седла (9(0, 0):

Ос = Pix (Жо, г/о, . .., + Qiy (Жо, Уо, V-l, . .(Aft)

3) См. [106, 107, 124].

и предположим, что

а,¥= 0.

Тогда относительно рассматриваемой сшитой сепаратрисы, об-разуюш;ей иетлю, могут быть сделаны те же утверждения, что и относительно петли сепаратрисы аналитической системы. (Доказательство этих утверждений может быгь проведено совершенно так же, как и в случае аналитической системы, на основании рассмотрения функции последования, построенной в окрестности петли из нескольких функций соответствия.) Именно, имеют место такие утверждения:

1) Сшитая сепаратриса, образуюш;ая петлю, устойчива, если седловая величина Оо < О, и неустойчива, если ас>0.

2) Если Оо Ф О, то при изменении из петли сепаратрисы может рождаться не более одного предельного цикла: устойчивого, если Ос < О, и неустойчивого, если Ос > 0. При одном xapaix-тере разделения сепаратрисы рождается предельный цикл, при другом -нет. Соответственно ири pj--p? в петлю сепаратрисы может «влипнуть» только устойчивый предельный цикл, если Ос < О, и только неустойчивый, если Ос > 0.

5. Метод Понтрягина для сшитых систем). Пусть Н(х,у)- = h- семейство замкнутых кривых Сн, завпсяш;их от параметра h, сшитых из кусков Hi{x, y) = h на интервалах Хг х Xi+i. Функции Нг{х, у) аналитические по каждому из аргументов.

Тогда система

х = Ну {х, у) + ИР {х, у), г/ = - Нх (ж, у) + рд {х, у) (10)

имеет ири д, О едипственный предельный цикл в окрестности замкнутой кривой С о, если дН/ду непрерывна в точках сши-

вания X = Хг.

Здесь р{х, у) и q{x, у)- аналитические функции в каждом из интервалов Хг х Xii, а feo - корень уравнения

аз {К) j (д {X, у) dx-p {х, у) dy) = О, аз {К) ф 0.

Предельный цикл будет устойчивым, если pijj (A") < О, и неустойчивым, если pijj (Aq) > 0. Фазовое пространство может быть как плоским, так и цилиндрическим.