Отметим, что в случаях I-III качественная структура состояния равновесия определяется линейными членами правых частей системы, и эта структура такая же, как и у соответствующей линейной системы, получающейся из системы (А) отбрасыванием нелинейных частей.

Состояния равновесия типа I-III мы будем в дальнейшем называть грубыми состояниями равновесия.

Как уже указывалось, состояния равновесия типа I и III (узел и фокус) имеют одинаковую качественную структуру: все

траектории, проходящие через достаточно малую окрестность состояния равновесия О, стремятся к О в зависимости от знака А,2 и а при t -> +00 или t -> -<». Однако характер стремления к состоянию равновесия в случае I (узел) и в случае III (фокус) различен (откуда и различие в названиях этих состояний равновесия).

В следующем параграфе будет указано, что в случае III (фокус) траектории ведут себя как спирали. В § 7 будет указано, что в случае I траектории стремятся к состоянию равновесия в определенном направлении (см. § 7).

§ 5. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями. Рассмотрим особо случай, когда Л > О, а = О, т. е. корни характеристического уравнения чисто мнимые.

Рассмотрим соответствующую линейную систему, т. е. систему

dxldt = -by, dy/dt = Ъх.

Нетрудно убедиться, что все отличные ог О траектории замкнуты (являются окружностями, см. пример 5 в § 12 гл. 1). Действительно, эта система имеет аналитический интеграл

.г2 -Ь г/2 = С.

Однако простые примеры показывают, что при наличии нелинейных членов состояние равновесия может иметь характер фокуса.

) В правых частях полученной системы мы сокращаем на г при г ф О, а затем доопределяем по непрерывности при г = 0.

В этом нетрудно убедиться, рассматривая, например, систему dxidt = -у - х(х + у), dy/dt = х - у(х + у).

Переходя в ней к полярным координатам, мы получим

dpidt == - р,

откуда

p = l/y2i + C,

и, следовательно, все траектории при t +оо стремятся к состоянию равновесия (началу координат). Таким образом, в случае нелинейного уравнения при чисто мнимых характеристических корнях вопрос о характере состояния равновесия не регпается линейными членами. Он требует специального рассмотрения.

Метод, которым в этом случае устанавливается характер состояний равновесия, применим также и в случае, когда корни комплексно сопряженные и действительные части их не равны нулю.

Поэтому мы предположим, что у состояния равновесия О системы (А) (которое мы, очевидно, можем считать лежащим в начале координат) характеристическими корнями являются комплексные сопряженные числа: а + ib, а - ib, где b ¥=0 ж а может как быть, так и не быть равным нулю.

Предположим, что система (А) имеет канонический вид, т. е.

dx/dt = P{x, у)=ах-Ьу + ({х, у), dy/dt = Q(x, у)= bx + ay + ySpix, у).

Здесь а ii b - действительная и мнимая части характеристических корней, а (р(х, у) и i:(, Ряды по х и у, сходящиеся в некоторой окрестности начала координат, начинающиеся с членов не ниже второй степени, так что мы можем записать*

{х, у) = Р2{х, у)+Рз(х, у)+..., {х, y)=Q2{x, y)+Q3{x, у)+

Pi{x, у) и Qi{x, г/)-однородные многочлены относительно х я у степени i.

Полагая j; = rcos0, г/= г sin 9, т. е. переходя в системе (А) к полярным координатам, получаем*)

= аг + ф (г cos 9, г sin G) cos 9 + ч) (г cos 9, г sin 0) sin 9 ==

= аг + [Рз (cos 9, sin 9) cos 9 -- <?2 (cos 9, sin 9) sin 9] + ...,

, i? (r cos 9, r sin 9) r sin 9 - Ф (r cos 9, r sin x) r cos 9 (7)

dt ° ~

= b - r[P2 (cos 9, sin 9) sin 9 - Q. (cos 9, sin 9) cos 9] + ...

Так как b ФО, то при всех достаточно малых г, т. е. в некоторой окрестности состояния равновесия,

dQidt Ф 0.

(Это означает, что в рассматриваемом случае любая полупрямая во всех достаточно близких к началу координат точках не имеет контакта с траекториями системы (А).)

При 6 > О полярный угол 9 возрастает при возрастании t {dGldt>0), а при Ь<0 убывает при возрастании t (dQ/dt <0). При этом полярный угол возрастает при вращении против часовой стрелки. Для исследования характера рассматриваемого состояния равновесия удобнее систему уравнений (7) заменить одним уравнением, которое получается, если разделить первое из уравнений (7) на второе:

J*l - + Pir, sine, COS9) d /„ пч /оч

dQ ~ b + rG (г, sin 9, cos 9) ~ >

Функция R{r, 9)-периодическая функция 9 с периодом 2л, являющаяся аналитической при всех 9 и всех достаточно малых г. Кроме того, R{0, 9)= О, т. е. г = 0, есть решение уравнения (8). Функция R{r, 9) может быть, следовательно, разложена в ряд по степеням г, сходящийся при всех значениях 9 и всех достаточно малых г:

йг/й9 = Л(г, 9) = гЛ,(9)+г2/?2(в)+... (9)

(jRj(9)- периодические функции 9 с периодом 2л).

Рассмотрим решение уравнения (9), принимающее значение Го при 0 = 0о:

г = /(9; 00, го).

Оно является, очевидно, уравнением в полярных координатах траектории системы (А), проходящей через точку с полярными координатами 9о, го. Функция /(9; 9о, го) - аналитическая функция {Q; 9о, Го) (при сделанном предположении об аналитичности правых частей системы (А)), и при этом, очевидно (так как г = = 0 есть решение уравнения (7)),

/(9; 00,0)0. (10)

Если использовать (10) и теорему о непрерывной зависимости от начальных значений, то можно сделать следующее заключение:

Все траектории системы (А), проходящие через достаточно малую окрестность начала О, пересекают каждую из полупрямых 0 = const, 0<9=2я (рис. 39 для случая dQ/dt<0).

Отсюда нетрудно видеть, что мы рассмотрим все траектории, проходящие через достаточно малую окрестность начала О, если будем рассматривать все траектории, проходящие через до-