к состоянию равновесия, нет траекторий, стремящихся в этом направлении, а все траектории в достаточно малой окрестности являются спиралями или замкнутыми траекториями.

§ 3. Примеры.

Пример 1.

dxIdt = Хх", dy/dt = by. Разделив одно уравнение на другое, получим dy/dx = by/{Kx). Это уравнение элементарно интегрируется:

Пусть для определенности ЬД > 0; тогда, очевидно, если х +0, то 1/ О, а при х --О у -> +оо. Состояние равновесия - седло-узел. Узловая область расположена как на рис. 51, б, если Ь > О, Я > 0.

Нетрудно также установить расположение узловой области и направление на траекториях при других знаках Ь и Я.

Пример 2.

д: - /-j-2/-Ь .г dx

Для точки 0(0, 0):

"ЗхСО.О) ?;(0,0)

2х -- X - 3*

= 0, б = р;(о,о) + (?;(о,о) = 2.

Подстановкой х=2у,у = --х + у преобразуем уравнение к виду

У + Jx, у)

dx (х, у)

Ищем решение уравнения

у + Q(x, y)=~y + y-j в виде ряда по степеням х. Получим

г1)(х) = Л(,ф(1)) = -Р+ ...

Здесь m = 3, Дш = 1/64 > О и, следовательно, точка 0(0,0) - узел.

Интегрируя, получаем = + С. Нетрудно видеть, что разбиение на траектории имеет вид, представленный на рис. 53. Пример 4.

dy г -I- г* - Зху

-Г =-?-I-Г-» Р - целое число.

хуР + у* + х

Для точки 0(0, 0): А = = 0 иб = 0. Подстановкой X = -у, у = -х уравнение приводим к виду dy <?2 ) - х* -

dx у+Р{х,у) у + у*-ЗхР

Ищем рещение уравнения у + у* - Зху = О в виде ряда по степеням X. Находим у = ф(ж) = 0. Поэтому

Mp(x) = Q2{x, <р{х))=-х\ а{х, <р{х)) = х.

Здесь к = 2т = 4, п = р, а = -1, 6„ = 1. Если р<т = 2, то точка 0(0, 0) - седло-узел (это может быть только в случае р = I). Если р> т = 2, то точка 0(0, 0)- вырожденная особая точка (для нее с = 2, N = О, Nf = 0). Если в исходном уравнении будет отсутствовать член ху, то а{х, <р(а;))=0, и тогда 6„ = О и, следовательно, точка 0(0, 0) будет вырожденной особой точкой.

Пример 5.

dy аху-х + у 2 у) „ . 1- y + x + ixV-y - У + Р,(х,У) «1-

Из уравнения у + Р2{х, у) = О находим у ==ц>{х)= -х + ..., и, следовательно,

1,(а;)= (32(а:, ц>(х))= ах(-х + .. .)-х+{-х -f .. .)2 =

= -х + ... (так как п > 1), о (х, ф (х)) = Р* (ж, ф (ж)) + Qly {х, ф (а;)) = аж" + 7а;* -1- ...

Таким образом, возможны случаи?

1. /г 6. Тогда 6„ = а -f 7 (/г = 6) или 6„ = 7 (/г > 6) и, следовательно, ЬпФО и п>т. Особая точка 0(0, 0) является фокусом или центром.

2. п<6. Тогда 6„ = а50 и V = Ч-4 (m-f l)aa„+i=o2-16. Теперь если /г = 4 или /г = 5, или /г = 3 и if = - 16 < О, то точка 0(0, 0)- фокус или центр. Если п = 2, то точка 0(0, 0) - узел. Если п = 3 и " = 0 -16>0, то точка 0(0, 0) -точка с замкнутой узловой областью.

Пример 3.

Примеры более сложных состояний равновесия. Мы предоставляем читателю рассмотреть приведенные ни-

..... У\

Рис. 56

Рис. 57

же примеры (во всех этих примерах системы могут быть проинтегрированы в квадратурах). Пример 6.

dxjdt = ху, dy/dt = х + у.

Система интегрируется путем замены у/х = и. Можно показать, что в окрестности состояния равновесия траектории имеют характер, представленный на рис. 56.

Пример 7.

dx/dt = ху, dy/dt = 1/2 - бху + X*.

Система интегрируется с помощью замены у/х = и. Рассматривая полученный интеграл, нетрудно убедиться, что состояние равновесия имеет вид, представленный на рис. 57.

Пример 8.

dx/dt = ху, dy/dt = у - х\ Рис. 58

Траекториями этой системы являются кривые i/ + а;* = Сх и, кроме того, полуоси х = Q, у> Q и а; = 0, у <Q. Состояние равновесия имеет вид, представленный на рис. 58.

В настоящее время методы исследования сложных особых точек получили дальнейшее развитие (список дополнительной литературы [31, 15, 17, 27]),