Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [ 71 ] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

ционному значению параметра, в случае, когда рассматривается система, правые части которой зависят от параметра) является системой первой степени негрубости, те же, что и описанные в гл. 10, со следующими очевидными добавлениями.

I. Двукратный цикл, охватывающий цилиндр при достаточно малых добавках, либо разделяется на два цикла, охватывающих цилиндр, либо исчезает.

II. Сепаратриса седла 0(фо, у о), образующая петлю, охватывающую цилиндр (при этом в седле Стс = Рц,{%, Уо) + <?у(Фо Уо) =5" о), при всех достаточно малых добавках либо разделяется без рождения предельного цикла, либо разделяется с рождением предельного цикла, охватывающего цилиндр, причем этот предельный цикл (при условии, что Ос Ф 0) единственный и устойчивый, когда Ос < О, и неустойчивый, когда Ос > 0.

III. Если сепаратриса седло-узла, охватывающая цилиндр, возвращается в него же (в узловую область седло-узла), то при всех достаточно малых добавках, при которых седло-узел исчезает, от сепаратрисы рождается предельный цикл, охватывающий цилиндр.

В случае динамических систем на цилиндре можно также отметить следующую бифуркацию от бесконечности:

IV. Рождение из бесконечности предельного цикла, охватывающего цилиндр (такое рождение происходит при смене устойчивости бесконечности (ср. гл. 11)).

Поворот поля. Как и в случае плоскости, мы скажем, что при переходе от системы

dcp/dt = P{, у), dy/dt = Q{,y) (А)

к системе

йф/йг = Р(ф, у), dy/dt = Q{(f, у) (А)

имеет место поворот поля (или поле поворачивается на угол одного знака), если во всех точках, отличных от состояний равновесия системы (А) одновременно являющихся состояниями равновесия системы (А), выполняется неравенство

Р(Ф, y)Q{q,, у)-(?(ф, г/)Р(ф, у)Ф 0.

Все сказанное в гл. И по поводу сепаратрис и, в частности, по поводу сепаратрис, образующих петлю, справедливо, очевидно, и ддя сепаратрис, образующих петлю, охватывающую цилиндр.

Предельный цикл, охватывающий цилиндр при повороте поля в одну сторону, поднимается вверх, а при повороте поля в другую сторону - опускается вниз.

Если на цилиндре существуют устойчивый и неустойчивый предельные циклы, охватывающие цилиндр, на которых направления обхода по t одинаковы, то при повороте на угол такого знака, при котором устойчивый цикл поднимается, неустойчивый цикл опускается, а при повороте другого знака - наоборот.



du дН , ,

(Ад)

Мы рассмотрим случай, когда у семейства кривых

Я(ф, z/) = C (С)

существуют области, заполненные замкнутыми кривыми, охватывающими цилиндр, и сформулируем условия, достаточные для того, чтобы у системы (А) при всех достаточно малых р, существовал предельный цикл, рождающийся из некоторой кривой (С) при условии, что в точках этой кривой (С)

дН1ду Ф 0.

Если в точках некоторой кривой

Я(ф, z/) = Co

дН/ду Ф О, то уравнение этой кривой, а также всех близких тсривых

Н(,у) = С, 1С - Col < а, а>0, может быть представлено в виде

г/ = /(Ф, С),

Теорема 1. Для того чтобы у системы (Ац) существовал предельный цикл, рождающийся из кривой

y = f{((>, Со),

необходимо, чтобы

I (Со) = J [9(Ф> /{Ф, Q- 0)-р(Ф, /(Ф, Q, 0)/;(ф, Q] йф = О, (6)

Если на двух устойчивых циклах, охватывающих цилиндр, направления обхода по t противоположны, то при повороте поля на угол одного и того же знака предельные циклы «двигаются» в противоположных направлениях.

Утверждения о поведении при повороте, аналогичные утверждениям гл. И, справедливы также для устойчивого и неустойчивого предельных циклов, охватывающих цилиндр, на которых направления обхода по t противоположны, а также для двукратного предельного цикла, охватывающего цилиндр, и для сепаратрисы, образующей петлю, охватывающую цилиндр.

§ 5. Динамические системы на цилиндре, близкие к гамиль-тоновым (метод Понтрягина). Предположим, что рассматриваемая система на цилиндре имеет вид



ti/,(Q>0, /(ф,/(ф,С))>0

H/i(Q<0, ЯЛф,/(Ф,С))<0.

Замечание 1. Элементарными вычислениями нетрудно установить, что если

I (С) = 1 (ф, / (ф, С), 0) я; (ф, / (ф. С)) + о

+ р (ф, / (Ф, С), 0) я; (ф, / (ф. С))] йф,

h{C)=dI{C)/dC. (8)

Во многих случаях удобнее пользоваться этим свойством и непосредственно устанавливать наличие условий

1(С) = 0, dI{C)/dC¥=0,

чем пользоваться приведенным выше выражением для 1\{С), Замечание 2. В тех случаях, когда почему-либо удобнее использовать параметрические уравнения кривых Н{х, у) = С:

x = g{t), y = h{t),

очевидно, нужно пользоваться теми же выражениями, что и в § 7 гл. 11 (только с другими обозначениями), т. е.

I (С) = j [р (g (t), h (t), 0) hit)-q (g (t), h (t), 0) g (t)] dt,

г (С) = I, (С) = j [px (g it), h (0, 0) qy (g (t), h (0, 0)] dt.

и достаточно, чтобы при условии (6) выполнялось

-;(ф/(ф.„))

.Бсдц /(Со) = 0 W 1\{Са)Ф0, то рождающийся цикл единственный и притом устойчивый, если

\iiACo)<o, я;(ф,/(ф,с))>о

ц/ЛСо)>0, 1?;(ф,/(ф,С))<0, и неустойчивый, если




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [ 71 ] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.0098