статочно малый отрезок (с концом в точке О) полуоси х (полупрямой 9 = 0), т. е. если будем рассматривать решение (при 9о = 0)

г = /(9; О, Го).

Так как функция /(9; О, го) - аналитическая функция 9 и го, то ее можно разложить в ряд по степеням Го:

г= /(9;О,Го) = м,(9)Го + М2(0)г+

сходяп];ийся при всех 9, О < 9 < 2я, и всех го1<г*. Эта функция является решением уравнения (9) и, следовательно, должна удовлетворять этому уравнению тождественно, т. е.

«Л + и1+ ..• = Ri Ф) (Mio +

+ u,rl+ ...) + i?2(e)[«i(e)-o +

+ (9) +...] -Ь ... Рис. 39

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях го, мы получаем рекуррентные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции М2(в):

Wi = i(9)Wi, M2 = i(0)w2 + 2(9)M?, Мз = Ri (G) щ + 2i?2 (9) + 3 (9) u\.

(11)

Из условия

/(9; О, ro) = ro,

которое вытекает из самого смысла функции /(в; О, го), мы, очевидно, получаем

Mi(0)=l, Mj(0)=0, г>1,

и, следовательно, из рекуррентных дифференциальных уравнений (И) мы можем последовательно определить Ы{(0). В частности,

Mi(9) = e"/\

Полагая в решении г = /(9; О, го), 9 = 2л, получим значения г = /(2л; О, Го), соответствуюп];ие следуюш;им после начальной точкам пересечения траекторий с положительной полуосью х.

Функция

г = /(2л; О, Го) = airo -1- arl -j- «зГ? н- .,.,

где а{ = ы,(2л), называется функцией последования на части положительной полуоси X, соответствующей значению г < г*. Ко-

5) При сделанных нами выводах мы существенно опирались на тот факт, что функция последования является аналитической функцией, что в свою очередь вытекало из аналитичности правых частей системы. Если правые части системы не являются аналитическими функциями, то и функция последования не будет аналитической функцией, и тогда возможен случай, когда в любой сколь угодно малой окрестности состояния равнове-сця О,есть как замкнутые траектории, содержащие О внутри, так и спирали.

эффициенты функции последования называются фокусными величинами.

Несложные вычисления показывают, что

Введем функцию

г) (г„) = / (2л; О, г„) - г„ = (а - 1) г„ + аг? + .,. (12)

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1 (Ляпунов). Первый не равный нулю коэффициент в разложении функции ф(го) непременно нечетного номера.

Если ai = 1, то первый не равный нулю коэффициент ai (в силу сформулированной теоремы он всегда нечетный) называется ляпуновской величиной. Если аз Ф О, то часто коэффициент аз обозначается через Li и называется первой ляпуновской величиной.

Если аз = 0, О, то аз = l2 называется второй ляпуновской величиной и т. д.

Рассмотрение функции i)(ro) позволяет сделать исчерпывающие заключения относительно характера траекторий в окрестности состояния равновесия О.

Возможны следующие случаи:

1. Либо аФО (т. е. агФ i), либо а = О (т. е. ai = 1), но хотя бы один из коэффициентов at отличен от нуля. Пусть в случае й! = 0 ai - первый отличный от нуля коэффициент в (12) (в силу теоремы Ляпунова io нечетно).

Все траектории, проходящие через достаточно близкие к точке О точки,- спирали. Эти спирали стремятся к состоянию равновесия О: а) при t +<», когда а/Ь < О или когда й = О и aj<0 (т. е. когда i)(ro)<0); б) при t-oo, когда а/Ь>0 или а = 0 и а{>0 (т. е. когда i)(ro)>0). Состояние равновесия имеет характер фокуса. Когда аФО, имеет место уже указанный в § 3 случай III (грубый фокус). В случае, когда а = О, io = = 2к + I, состояние равновесия называется сложным фокусом кратности к или А-кратным сложным фокусом.

2. Все коэффициенты аг равны нулю. В этом случае г)(го)=0 (т. е. г=го) и, следовательно, все траектории, проходящие через точки достаточно малой окрестности, замкнуты. Состояние равновесия есть центр *).

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2 (Ляпунов). Необходимое и достаточное условие того, что состояние равновесия системы (А), имеющее чисто мнимые характеристические корни, есть центр, заключается в том, что система (А) имеет в окрестности этого состояния равновесия аналитический интеграл.

Этот интеграл имеет вид )

x2 + j/2 + F3 + ... + F„ + ...=C.

{Fi содержат х, у в степени выше второй.)

§ 6. Направления, в которых траектории стремятся к простым состояниям равновесия. Пусть

dxldt = P{x, у), dyldt = Q{x,y) (А)

- рассматриваемая динамическая система, а О{0, 0)-ее изолированное состояние равновесия; О может быть как простым, так и сложным состоянием равновесия, так что детерминант

р;(о,о) ру{о,о) ;(о,о) (0,0)

может быть как не равным, так и равным нулю. Пусть

x = x{t), y = y{t)

- траектория системы (А), стремящаяся к состоянию равновесия при +0о или t--°o. Так как оба случая {t+°о и t--оо) исследуются вполне аналогично, то мы рассмотрим только один из них, например случай, когда t +®о.

Таким образом, мы предполагаем, что при f->-+оо y{t)0, x{t) О (но при этом x{t) и y{t) не равны нулю тождественно).

Определение. Пусть ОМ - луч (полупрямая), имеющий своим началом точку О и проходящий через точку M{t) траектории L. Если луч ОМ при t +°° стремится к некоторому предельному положению - лучу ОМ*, то мы будем говорить, что при t +00 траектория стремится к состоянию равновесия О в направлении 9*, где 9* - угол между положительным направлением оси абсцисс и лучом ОМ* (рис. 40). (Угол 9* определяется, конечно, с точностью до соответствующего кратного 2л.)

Из данного выше определения непосредственно следует, что если полутраектория стремится к состоянию равновесия в направлении 9*, то существует (конечный или бесконечный) пре-

*) При предположении, что система (А) имеет указанный в этом параграфе канонический вид. В случае, когда в окрестности состояния равновесия линейные члены отсутствуют, состояние равновесия может иметь характер центра, но аналитического интеграла может* и не существо:-вать [132].