причем эту систему при некотором частном значении параметра, например при р. = О, т. е. систему

dx/dt = Р{х, у, 0), dy/dt = Q{x, у, 0), (Ао)

мы будем принимать за исходную систему (А). Тогда измененной системой будет система (Ац) при \i0, и она, очевидно, может быть получена из исходной системы (А) с помощью добавок

Р{х, у, ц)-Р{х, у, 0) = р{х, у, ц), Q{x, у, n)~Q{x, у, 0)=q{x, у, ц).

В дальнейшем мы часто будем рассматривать добавки, линейно зависящие от (х, т. е. будем наряду с данной системой (А) рассматривать измененную систему вида

dx/dt = P{x, у)+цр{х, у), dy/dt = Q{x, у)+м{х, у)-

Отметим еще один встречающийся в дальнейшем частный случай измененной системы, именно

dx/dt = P{x, y)±]xQ{x, у), dy/dt = Q{x, у)цР{х, у).

Нетрудно видеть, пользуясь формулой (2) или выражением для tg9, которое нетрудно получить, что эта система дает поворот поля системы (А) на постоянный угол, тангенс которого равен ±ц.

В этом частном случае измененной системы ее состояния равновесия совпадают с состояниями равновесия системы (А) (хотя характер их может быть отличен от характера состояний равновесия системы (А)).

Действительно, нетрудно видеть, что при любом х мы можем иметь одновременно

Р{х, y)±nQ{x, у) = 0, Q{x, у)цР{х, г/) = 0,

лишь когда одновременно

Р{х, г/) = 0 и Q{x, у) = 0.

Мы остановились здесь на этом частном случае добавок ввиду того, что поворот поля часто используется в дальнейшем при рассмотрении конкретных систем.

§ 4. Основные теоремы о зависимости решения от изменения правых частей динамической системы). В настоящем параграфе излагаются основные теоремы, касающиеся изменения решения системы дифференциальных уравнений, рассматриваемого на конечном промежутке значений t, при изменении правых частей системы. На эти теоремы опирается все дальнейшее изложение.

=) См. [ИЗ, 116, 130, 134].

xl-x* <б, г/о-г/о <б, решение системы (А), соответствующее начальным значениям

0 Xq , Уо.

х= fp(t - tQ,x*,y*),

у = {t - tQ,x*,y*),

определено при всех значениях t, t\<t t2, и при всех этих значениях выполняются неравенства

q){t - tQ,x*, у*) - (p{t - t„,x*,yl)\<.e,

I $ - 0, 0*. Уо) -{t - to, Хо, г/о) I <8.

Замечание. Если правые части рассматриваемой системы являются непрерывными функциями ц, так что рассматриваемая система имеет вид

dx/dx = P{x, у, ц), dy/dx = Q{x, у, ц),

Это аналогично тому, как знание структуры траекторий в малом в отсрестности отдельной неособой точки не позволяет судить о качественной структуре траекторий в целом (см. § 13 гл. 1).

Отметим, что малое изменение решения на конечном промежутке значений t отнюдь не обеспечивает неизменность характера целых траекторий и тем более неизменность качественной (топологической) структуры разбиения на траектории в целом).

Пусть динамическая система (А) определена в некоторой ограпиченпой замкнутой области G и наряду с ней рассматривается измененная система (А), определенная в той же области. Каки всюду, будем предполагать, что правые части систем (А) и (А) являются аналитическими функциями х и у.

Теорема 1 (о непрерывной зависимости решения от изменения правой части и начальных условий). Пусть

х= (p{t - t; xl, г/о),

у = (t-to, X*, г/о)

- решение системы (А), определенное при всех значениях

x<t<T,

и ti, t2 - какие-нибудь числа между х и Т, удовлетворяющие неравенству ti<to< fc.

Тогда при любом е > О существует б > О такое, что при условии, что в области G

\р{х,у)\<6, \q{x,y)\<b

и, кроме того,

а, следовательно, решение этой системы зависит от ц:

x = (p{t-to, Хо, Уо, ц),

y = \lp{t--to, Хо, Уо, М-),

то функции ф(*-0, Ха, уо, ц) и {t - ta, хо, уа, ц) являются непрерывными функциями ц.

Теорема 1 может быть сформулирована в следующей геометрической форме:

Задавая любой конечный промежуток времени, можно взять систему (А), столь близкую к данной системе (А), и столь близкие начальные точки, чтобы соответствующие траектории систем (А) и (А) в течение выбранного конечного промежутка времени сколь угодно мало отличались друг от друга.

Наряду с теоремой 1 основную роль в дальнейшем играет также следующая теорема, уточняющая по сравнению с теоремой 1 характер близости решений систем (А) и (А) в случае, когда близки не только правые части систем (А) и (А), но и их частные производные до порядка к.

Пусть по-прежнему решение системы (А) определено при значениях t: ti<t< t2.

Теорема 2. Для всякого е > О существует б > О такое, что если в области G выполняются неравенства

5"Р

\р(х,у)\<Ь, \q{x,y)\<b,

Хо - Хо < о, г/о - г/о < о,

5"?

<б, W = 1,2, ...,/с; j = 1, 2, ..., ге,

ТО решение системы (А)

х= (t - to,x*, Уо), = 0.0*1 Уо*)

определено при всех значениях t, titt2, и при всех этих значениях выполняются неравенства

"ф(-о.оМо*)

<8,

Предположим теперь, что правые части рассматриваемой динамической системы содержат параметр так что система имеет вид

dx/dt = P{x, у, ц), dyldt = Q{x, у, ц).