Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

Тогда соотношение (6) называется частным интегралом уравнения (Аз) или просто интегралом системы (А). Если г/ = ф(л;)- решение или

Ф(х, у)=0

- интеграл уравнения (Аз), то соответствующая кривая называется интегральной кривой уравнения (Аз).

Нетрудно убедиться, рассматривая простые примеры, что, как указано, интегральная кривая в этом смысле может проходить через особые точки.

В случае, когда функция F{x, у), удовлетворяющая соотношению (5), является аналитической во всех точках области G, как особых, так и неособых, то говорят, что уравнение (Аз) или система (А) имеет аналитический интеграл.

§11. Что значит «найти решение динамической системы»? Если математической моделью реальной физической системы является динамическая система вида (А), то представляется возможным с помощью этой системы проследить изменение состояний рассматриваемой реальной системы при изменении времени t. Именно, в силу теоремы 1 задание начальных значений хо, уо, to однозначно определяет решение для всех значений t (т. е. однозначно определяет «прошлое» и «будущее»). Говорят, что для этого нужно только «найти решение» или проинтегрировать систему (А). Однако слова «найти решение», «проинтегрировать динамическую систему» без дополнительного уточнения не имеют смысла. Действительно, если под интегрированием системы (А) понимать нахождение аналитического выражения для решений, то естественным образом встает вопрос: каков характер аналитического выражения и каковы вообще те требования, которые можно предъявить к такому аналитическому выражению?

Известно, что выразить решение системы (А) через элементарные функции или через интегралы от элементарных функций (решить систему (А) «в квадратурах») возможно лишь в случае частных типов этой системы.

Аналитический вид решения очень хорошо известен в случае линейных систем (А). Однако далеко не всякая физическая система может быть хотя бы приближенно описана линейной системой. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. Можно ставить задачу нахождения решения не в элементарных функциях и «в квадратурах», а в виде рядов, равномерно и абсолютно сходящихся. Однако в некоторых случаях эти ряды сходятся столь медленно, что ими практически невозможно пользоваться. К вопросу нахождения решения можно также подойти совсем иначе: именно, можно отказаться



от отыскания аналитических выражений для решений и, задавая с Toil или иной степенью точности некоторые начальные значения, приближенно вычислять решения на заданном промежутке значений. При наличии современных вычислительных машин такое приближенное вычисление решений играет очень большую роль н для некоторых задач может дать фактически исчерпывающий ответ. Однако в целом ряде случаев, пожалуй, даже в большинстве случаев, такой «слепм! счет» nit в какой мере не может дать удовлотпорптельного решения задачи.

Кроме того, для многих задач представляет интерес не аналитический вид решения и не приближенное вычисление решений, а, например, ответ иа следующие вопросы: каково число состояний равновесия у данной динамической системы, и устойчивы они пли нет; существуют, ли замкнутые траектории, сколько их и как они расположены )?

Таким образом, стремясь уточнить понятие «интегрирования динамической системы (А)», мы долнны прежде всего внести ясность в вопрос о том, какими свойствами решений динамической системы мы интересуемся.

При рассмотрении задач небесной механики возникло понятие качественного интегрирования, или качественного исследования, динамической системы. Это понятие оказалось впоследствии чрезвычайно важным также и для задач «земной» физики, в частности радиотехники, теории регулирования, а также многих других областей.

§ 12. Примеры. В настоящем параграфе мы приведем ряд простых примеров, на которых проиллюстрируем материал предыдущих параграфов. Эти примеры в силу их простоты одновременно являются примерами полного качественного исследования динамической системы. Во всех приведенных примерах динамические системы определены на всей плоскости.

Пример 1.

dxidt = 1, dyidt = 0. Траектории - прямые, параллельные осп х:

у = С\, X = t + С2.

Если расслгатриваемая система (А) является математической моделью како11-либо реальной физической системы, то состояния равновесия системы (А) соответствуют состояниям равновесия реальной системы, замкнутые траектории - периодическим движениям - колебаниям (в частности, автоколебаниям). Для некоторых устройств колебания нужны: наличие их как раз и используется в этол1 устройстве (например, различные генераторы колебани1г), в других они, наоборот, вредны (флаттер, шимми и т. д.). Отсюда очевиден первостепенный интерес для приложений сведений о существовании, взаимном расположении замкнутых траекторий и состояний равновесия их устойчивости, а также сведений от области притяжения того или другого устойчивого состояния равновесия или устойчивой замкнутой траектории и т. д.



Состояний равновесия, очевидно, нет: все траектории (совпадающие с интегральными кривыми) являются целыми траекториями. Пример 2.

dx/dt=l, dy/dt=l + y\ (7)

J/ = tg(i + Ci), X = t + C2.

Состояний равновесия нет, траектории не являются целыми траекториями ввиду того, что точки на этих траекториях уходят в бесконечность при t, стремящемся к конечному значению. Именно,

г/ = tg(i + Cj)-> оо при t + с-(2к + 1).

Пример 3.

dx/dt = ах, dy/dt = by,

где а ж Ь имеют одинаковые знаки.

На плоскости (х, у) (т. е. на фазовой плоскости системы (8)) эта система задает векторное поле, примерно изображенное на


Рис. 5

рис. 5, а при а < О, Ь < О и на рис. 5, б при а > О, Ь> 0. Прямые на этом рисунке являются изоклинами.

Система (8), очевидно, имеет единственное состояние равновесия 0(0, 0). Решая систему (8) как линейную с постоянными коэффициентами, легко видеть, что решение, соответствующее начальным значениям to, хо, уо, имеет вид

х = х/-\ у = Уое"К (9)

Очевидно, что в согласии с леммой 3 это решение является функцией t - to.

Траектории системы (8) проще всего получить, исключая t - io в уравнениях (9), т. е. переходя к декартовым координатам.




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.0101