) Из теоремы 3 могут быть, как следствие, получены как утверждения теоремы 1, так и утверждения теоремы 2.

Предиоложим, кроме того, что функции Р{х, у, Q(x, у, ц) - аналитические функции также и параметра ц.

Теорема 3. Если Р{х, у, ц), Q{x, у, \i) - аналитические функции своих аргументов, то и функции

x = (f>{t-to, XQ, yQ, ц), y = {t-tQ, Xq, уо, \l)

также являются аналитическими в окрестности всякой системы значений t - to, xq, уо, \i, для которой они определены).

§ 5. Грубость динамической системы и теоремы о непрерывной зависимости решения от изменения правых частей. На осно-

вании приведенных теорем мы можем утверждать, что на любом конечном замкнутом промежутке значений (на котором определено решение исходной системы) при малых изменениях правых частей решение измененной системы мало отличается от решения исходной системы.

Однако на основании этих теорем нельзя сделать никаких заключений о неизменности поведения траектории на неограниченном интервале значений t и тем более о неизменности характера разбиения на траектории в целом.

Нетрудно убедиться, рассматривая простые примеры, что при изменении правых частей характер разбиения на траектории может как не меняться, так и меняться. Так, например, нетрудно видеть, что у линейной динамической системы вида

dxfdt = 2х, dy/dt = у,

для которой начало координат является узлом (эту систему можно, например, рассматривать внутри некоторого цикла без контакта, который в этом случае заведомо суш;ествует), топологическая структура не меняется при всех достаточно малых добавках к правым частям.

С другой стороны, рассмотрим систему

dx/dt = у, dy/dt = -X, (3)

у которой все траектории замкнуты (начало координат является состоянием равновесия типа «центр»). Рассмотрим наряду с этой системой измененную систему

dx/dt = \1х-у, dy/dt = - ж. (4)

Все траектории этой системы, кроме состояния равновесия,- спирали (состояние равновесия 0(0, 0) есть фокус).

Хотя В силу теоремы 1 на любом конечном промежутке значений t при достаточно малом ц витки спирали системы (4) сколь угодно близки к соответствующей замкнутой траектории системы (3), но очевидно, что при сколь угодно малых ц¥=0 топологические структуры разбиений у систем (3) и (4) различны. Таким образом, требование неизменности всей качественной картины траекторий при малых изменениях правых частей в целом непосредственно не вытекает из приведенных теорем о непрерывной зависимости решения от изменения правых частей и требует специального рассмотрения. Мы проведем зго рассмотрение в следующей главе.

ГЛАВА 8 ГРУБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§ 1. Определение грубой динамической системы. Мы будем предполагать, что у всех рассматриваемых динамических систем

dxldt = Р{х, у), Myldt = Q{x, у) (А)

правые части определены в некоторой области W плоскости {х, у) и являются в этой области аналитическими функциями х ш у). Однако мы будем рассматривать эти системы в некоторой замкнутой ограниченной области G, целиком содержащейся в W.

Будем наряду с данной фиксированной системой (А) рассматривать всевозможные измененные системы

dxldt = P{x, у), dy/dt = Q{x, у), (А)

правые части которых также определены и аналитичны в области W.

Будем считать измененную систему (Ж) близкой к системе (А) в замкнутой области G, целиком (вместе с границей) лежащей в W {в которой определены системь1 (А) и (А)), если в каждой точке М{х, у) замкнутой области g не только функции Р{х, у) и Q{x, у) близки соответственно к функциям Р{х,у) и Q{x, у], но и первые производные от функций Р{х, у) и J {X, у) и Ру (х, у), Qx [х, у) и Qy {х, у) соответственно близки к производным от функций Р{х, у) и Q{x,y): Рх{х,у) и (Х,г/) и Qy(x,yy). В соответствии с этим мы будем говорить, что система (А) мало меняется, если наряду с системой (А) рассматриваются всевозможные измененные системы (А), близкие к системе (А) в указанном смысле.

Впервые определение грубости динамической системы было дано (см. [2, 3, И]) при некотором дополнительном предположении относительно множества рассматриваемых динамических

, Понятие грубой динамической системы [3, 13, 26, 144] имеет смысл также и при значительно более общих предположениях относительно правых частей (см. [13] и § 8 настоящей главы).

2) Отметим, что при вводимом понятии грубости требование близости не только самих фунюпсий Р(х, у) и Q(x, у), но и их производных существенно (см. также подстрочное примечание)).