j j Л/ [х, у) dx du.

Консервативные системы были в основном в центре внимания при рассмотрени!! задач небесно!*! механик!! (а также в статистической физике). Позднее обнаружились и другие области их применения, не менее важные (движение заряженных частиц в электромагнитном поле и др.). Существует развернутая теория этих С!1стем, которой мы в это!1 KHiffe касаться не будем.

§ 2. Динам1!ческ!1е системы, характерные для теории колебаний. Динамические системы, адекватным образом описывающие задачи, рассматриваемые теорией колебаний, являются, если так можно выраз!!ться, существенно неконсерват!1вными).

Существенная неконсервативность этих систел! характеризуется тем, что у них не может быть областей (ячеек (см. § 8, 9 гл. 2)), сплошь заполненных замкнутыми траекториями: все траектории одно!"! и той же ячейки стремятся npi! t +°° к одному и тому же центру притяжения, а при t -°° к одному ж тому же центру отталкивания. Кроме того, замкнутые траектории таких динамических систед! всегда являются изолированными, т. е. предельными, циклами. Как мы уже говорили, именно предельны!"! цикл, а не замкнутые кривые консервативной системы, является адекватным математическим образом автоколебаний.

Дальнейшее внимательное рассмотрение вопроса о том, какие свойства следует ожидать у существенно неконсервативных ди-нам!1ческ11х систем, соответствующих реальным физическим системам, если при этом изучаются те свойства реальных систем, которые описываются качественным характером траекторий (и если, конечно, соответствующая математическая модель - динамическая система-хорошо отображает cBoficiBa реальной системы), привело к понятию грубой динамической си-стемы). Точное определение грубых систем дано в § 1 гл. 8; здесь же сделаем некоторые общие замечания.

Всякая реальная физическая система характер!!зуется некоторыми физ!1ческими параметрами (такими параметрами могут

) Отсюда, конечно, ни в какой мере не следует, что консервативные системы не представляют интереса д.ля теории колебаний и что она не пользуется пмп. Теория колебаний использует консервативные системы как для упрощенных идеализации (элементарным примером такой идеализации является, например, маятник без трения), так и в качестве вспомогательного математического аппарата.

2) Это понятие впервые было введено А. А. Андроновым и Л. С. Пон-трягиным в 1937 г. [И].

Свойства а) и б) остаются справедливыми и для консервативной системы (1).

Однако для консервативной системы (1) инвариантной остается не площадь, а следующий интегральных"! инвариант:

§ 3] СИСТЕМЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 131

быть, например, масса, емкость, коэффициент трения и т. д.). Эти параметры никогда не могут быть абсолютно неизменными во время движения физической системы. Поэтому, если мы утверждаем, что при некоторых заданных значениях параметров движение имеет какой-то определенный характер, например имеют место автоколебания, то это может иметь смысл лишь при условии, что малые изменения физических параметров не меняют характера движения.

Это свойство реальной физической системы, без которого изучение ее поведения вообще не представляется возможным, должно найти отражение в свойствах соответствующих математических моделей, т. е. динамических систем, описывающих реальные физические системы. А это, очевидно, означает, что у таких динамических систем при малых изменениях входящих в них параметров, которые очевидно соответствуют реальным физическим параметрам, характер траекторий не меняется.

Высказанные соображения являются теми эвристическими соображениями, на основании которых представляется целесообразным выделение среди динамических систем второго порядка таких, у которых качественная структура разбиения на траектории не меняется при «малых изменениях» этих систем. Динамические системы, обладающие этими свойствами, называют грубыми.

В гл. 8 дается точное определение грубой динамической системы и при этом уточняется смысл слов «малые изменения динамической системы».

Грубость динамической системы именно и можно считать тем свойством, которое мы выше назвали существенной некон-сервативностью). До сих пор мы все время говорили лишь о динамических системах, правые части которых - аналитические функции. Однако в разных вопросах теорип колебаний, а также (и в особенности) в теории регулирования для адекватного описания задач часто необходимо рассматривать динамические системы с кусочно-непрерывными или даже с разрывными правыми частями. Такие динамические системы специально также будут рассмотрены в настоящей книге в части IV. Однако в настоящей части мы все время будем предполагать правые части динамических систем аналитическими функциями.

§ 3. Измененные системы. Системы, правые части которых зависят от параметра. Прежде чем переходить к определению грубой системы, понятию, являющемуся основным в дальнейшем, мы приведем некоторый необходимый вспомогательный материал.

2) Следует отметить, что хотя многие понятия теории бифуркаций динамических систем переносятся на случай многомерных систем, но в этом случае все значительно сложнее, и имеют место совсем иные факты (см. [111, 25,24,137-141]).

") Понятие грубости динамической системы может быть введено при значительно более широких предположениях относительно правых частей системы (А), именно при предположении, что правые части имеют лишь непрерывные частные производные (см. § 8 гл. 8).

Всюду В дальнейшем наряду с заданной системой

dx/dt = Р{х, у), dy/dt = Q{x, у), (А)

которую мы будем предполагать определенной в некоторой ограниченной области G (или задшнутой ограниченной области G), будем рассматривать также другие системы вида

dx/dt = P{x, у)=Р{х, у)+р{х, у),

dy/dt = Q{x, y)=Qix, y)+q{x, у).

Систему (А) мы будем называть исходной системой, отличные от (А) системы (А)-измененными системами.

Функции р = Р{х, у)-Р{х, у) и q = Q{x, y)-Q{x, у) называются добавками к правым частям системы (А). В дальнейшем всегда предполагается, что правые части являются в рассматриваемой области аналитическими функциями).

В области g каждая из систем (А) и (А) задает свое векторное поле. Сипус угла между направлением векторного поля, заданного систедгой (А), и направлением векторного ноля, заданного систедшй (А) в каждой точке, дается выражением

sin 9 = Q{,y)P{y)-Piy)Q{,y) (2)

Vp (X, у) + (х, у) Vp {X, у) + (х, у)

Очевидно, в точках, в которых

Q{x, у)Р{х, у)-Р{х, y)Q{x, у)>0,

угол 9 положителен, в точках, в которых

Q{x, у)Р{х, у)-Р{х, y)Q{x, у)<0,

этот угол отрицателей, а в точках, где

Q{x, у)Р{х, у)-Р{х, y)Q{x, у) = 0,

направления поля систем (А) и (А) совпадают или прямо противоположны. В том частнод! случае, когда во всех точках плоскости (или рассд1атриваемой области)

Q{x, у)Р{х, у)-Р{х, y)Q{x, у)>0,

мы будем говорить, что система (А) дает поворот поля системы (А) (или просто поворот поля) на неотрицательный или не-иоложительный угол.

Предположим, что рассматривается динадшческая система, правые части которой зависят от некоторого парад1етра,

dx/dt = Р{х, у, р), dy/dtQ{x, у, р), (А.)