Предположим теперь,- опять не обращаясь к конкретному аналитическому виду системы дифференциальных уравнений,- что у этой системы (которая описывает работу некоторого устройства, например, лампового генератора при другой характеристике лампы, чем в выше рассмотренном случае) при некоторых фиксированных значениях параметров разбиение фазового пространства на траектории имеет вид, представленный на рис. ИЗ,а, т. е. начало координат О-устойчивый фокус,

Рис. ИЗ

и вокруг этого фокуса - два предельных цикла - неустойчивый Ll и устойчивый Z/2 (неустойчивый предельный цикл отделяет состояние равновесия О от устойчивого предельного цикла L2). Очевидно, если начальная точка на фазовой плоскости достаточно близка к началу О (лежит между точкой О и предельным циклом Ll), то изображающая точка по соответствующей траектории стремится к устойчивому состоянию равновесия, колебаний не возникает (устанавливается равновесный режим). Для того чтобы возникли автоколебания, надо начальную точку «забросить» достаточно далеко от начала, т. е. во всяком случае за неустойчивый цикл Li. Очевидно, для всех начальных точек, лежащих вне неустойчивого цикла, изображающая точка стремится к устойчивому предельному циклу L2, т. е. возникают автоколебания.

В этом случае говорят, что имеет место жесткий режим.

§ 2. Замечания о границах области устойчивости различных стационарных режимов. Мы указывали, что стационарным режимам реальной системы в описывающей ее системе дифференциальных уравнений соответствуют устойчивые узлы или фокусы (равновесные режимы) и устойчивые предельные циклы (автоколебательные режимы). Неустойчивые же предельные циклы и сепаратрисы (как мы увидим, не все сепаратрисы) являются разделяющими для области начальных значений на частичные

области, из которых изображающая точка стремится к различным стационарным . режимам. Естественно, таким образом, что в динамической системе, описывающей реальную систему, в которой параметр t соответствует реальному времени, мы пе можем считать роли значений t>to и t <to, где to - некоторое фиксированное значение (т. е. роли «прошедшего» и «будущего»), симметричными.

Мы остановимся здесь несколько подробнее па роли неустойчивых предельных циклов, и со-сепаратрис (т. е. сепаратрис, стремящихся к седлу при t + °о) в описании реальной системы. При этом, конечно, мы будем считать рассматриваемую динамическую систему грубой.

Предположим, что у этой динамической системы существует область начальных значений, границей которой является неустойчивый предельный цикл, как, например, в случаях рассмотренной выше динамической системы, описывающей жесткий режим.

Если мы возьмем начальную точку в области притяжения состояния равновесия О (см. рис. ИЗ, а) или в области притяжения устойчивого предельного цикла L2 достаточно далеко от границы - неустойчивого предельного цикла Li, то достаточно малые случайные толчки (которые мы всегда должны предполагать существующими в реальной системе) пе выведут изображающую точку из соответствующей области притяжения, и она при увеличении t будет стремиться все к тому же стационарному режиму. Очевидно, так же будет вести себя и соответствующая реальная система. Иначе обстоит дело, если начальное значение взять достаточно близко к разделяющему неустойчивому предельному циклу Li. Малый случайный толчок может перекинуть изображающую точку в область притяжения состояния равновесия О либо в область притяжения предельного цикла L2, поэтому при начальных значениях, достаточно близких к разделяющему циклу Li, существует неопределенность; в зависимости от случайных толчков возможно установление Рис. 114 одного из двух равновесных режимов.

Полностью аналогичную роль играют со-сепаратрисы седла. Сепаратрисы седла, стремящиеся к седлу прп t -> -00 (а-се-паратрисы седла), стремятся при t + °о либо к устойчивому состоянию равновесия, либо к устойчивому предельному циклу (напоминаем, что мы естественным образом предполагаем систему грубой), так же как и все близкие к этой сепаратрисе траектории. Поэтому при малых случайных толчках изображающая точка, находящаяся вблизи точек такой сепаратрисы, пе

) В случае лампового генератора этим параметром является коэффициент взаимоиндукции между цепью сетки и колебательным контуром. ) В ламповом генераторе он зависит от характеристики лампы.

выпадает из области притяжения того стационарного состояния, к которому стремится сепаратриса.

Однако ситуация делается другой, если начальная точка взята достаточно близко к точке со-сеиаратрисы такого седла, у которого две его а-сепаратрисы стремятся к двум различным стационарным режимам (рис. 114).

В этом случае со-сепаратриса Lq седла С является граничной для двух областей притяжения различных устойчивых элементов (устойчивых состояний равновесия или предельных циклов), и поэтому малые случайные толчки могут привести к тому, что изображающая точка пойдет к одному или другому стационарному режиму. Здесь, так же как в предыдущем случае для реальной системы, имеет место некоторая неопределенность возможного поведения.

§ 3. Мягкое и жесткое возникновение колебаний. В предыдущем параграфе мы рассматривали реальную систему и соответствующую систему дифференциальных уравнений при фиксированных значениях параметров.

Сейчас мы будем рассматривать, как некоторые нелинейные эффекты, происходящие при изменении реальных параметров, адекватным образом объясняются теорией бифуркаций дифференциальных уравнений. Мы по-прежнему не будем выписывать формулы, а ограничимся лищь чертежами и пояснениями. Однако, предполагая для простоты, что система близка к линейной консервативной (см. [2-4]), будем рассматривать зависимость амплитуды колебания от некоторого параметра Я, соответствующего реальному параметру).

Рассмотрим два основных случая возникновения колебаний при изменении параметра Я: случай мягкого и жесткого возбуждения колебаний.

Физически тот или другой характер возбуждения колебаний, очевидно, зависит от характера реальной задачи)-математически он связан с характером соответствующей системы дифференциальных уравнений и тех бифуркаций, которые осуществляются в ней при изменении параметра.

Предположим, что при значениях параметра Я, меньших некоторого значения i, разбиение фазовой плоскости имеет сле-дующи11 простой характер: существует единственное состояние равновесия О в начале координат - устойчивый фокус. Где бы ни находилась изображающая точка, она через некоторое время окажется вблизи этого устойчивого фокуса. Значение Я.1 яв-