Как уже указано, устойчивость по Ляпунову отличается от орбитной усто11чивости. Поясним это различие на простом примере. Рассмотрим замкнутую траекторию о:фо(0, o{t), в окрестности которой все траектории замкнуты. Она, очевидно, орбитно-устойчива. Предположим, что период па Lo равен то, а на всех близких к ней траекториях отличен от То (это - очень часто встречаюш,1шся случай). Всякая траектория L, ироходягцая при t = tQ достаточно близко к точке фо(*о), о{к) на Lo, при значении t=to + r будет, очевидно, проходить (в силу теоремы о пе-прерывпой зависимости от начальных условий) сколь угодно близко к этой же точке ири значении i = to + то. Но период па L будет отличаться от То па некоторую сколь угодно малую величину б.

Тем не менее при пеограничепном возрастании t (t> пх, где п - сколь угодно большое целое число) разность между io + гето и i= io + ге(то + т) будет уже больше некоторой конечной величины, и точка на L, соответствуюш,ая этому значению i, будет находиться на конечном расстоянии от точки фo(io), ifoCio) траектории Lfl.

Таким образом, решение фo(i), o{t) неустойчиво но Ляпунову. В приведенной же выше теории особых и неособых траекторий имеет значение лишь обратная устойчивость.

ГЛАВА 3

ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ ОКРЕСТНОСТИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ (ОСОБОЙ ТОЧКИ)

Введение. В предыдущих главах были даны сведения о том, какова вообще возможная качественная структура траекторий и расположения траекторий на фазовой плоскости, что нужно знать ДЛЯ того, чтобы знать эту качественную структуру. В частности, как мы видели, нужно знать характер состояний равновесия. В настоящей главе будут указаны методы определения характера состояния равновесия для некоторых классов состояний равновесия).

§ 1. Простые состояния равновесия (особые точки). Пусть М{хо, г/о)-состояние равновесия (особая точка) системы (А), так что

Pixo, yo)=Q(xo, уо)=0.

Введем обозначения:

Рх(Х(,Уо) Ру(Хо1Уй)

РЛЧУй) Qv{4yu)-Состояние равновесия, для которого

А(а;о, г/о)0,

называется простым.

Разлагая в окрестности простого состояния равновесия 0{хо, Уо) правые части в ряд по степеням х - хо, у - уо, мы, оче-

) Задача установления для конкретно заданной динамической системы существования предельных континуумов (в частности, предельных циклов) и их взаимного расположения, а также расположения сепаратрис, не являющихся предельными, представляет очень большие трудности и в гораздо меньшей степени близка к решению, чем задача определения характера состояний равновесия. В гл. 6, 14, 15 будут указаны, существующие подходы и приемы решения задачи о существовании предельных циклов.

ВИДНО, получим

= - «о) Р= (-0 у о) + {У - Уо) Ру (-0. У) + (р(х-Хо,у~ г/о),

= - о) Q=c {0 Уо) + {У- Уо) Qy (0- Уо) + {х-Хо,у- (/о),

где <f{x - xo, у - уо) и \S;i{x - xq, г/ -г/о)-ряды относительно X - Хо, у - Уо, начинающиеся с членов не ниже второго порядка. Перенося начало координат в точку (хо,уо), т.е., другими словами, полагая

х-Хо = 1, г/ - г/о = т), мы можем записать систему (А) в виде

i = al + bn + q>(l, ц),

Т) = C + dT) + t(, Т)),

а = Рх(Хо,Уо), Ь = Ру{Хо,Уо), с = <?х(-Го, г/о), d = Qy(Xo,yo),

а Ъ с d

§ 2. Приведение динамической системы к каноническому виду.

При рассмотрении характера простых состояний равновесия линейные члены в системе (А) надлежащим образом выбранным неособым линейным преобразованием

и=рп1+р\2Ц, г; =/?2i-Ь/?22Т) (1)

Рц Pl2

приводятся

(т. е. преобразованием, у которого

Р21 Р22

К возможно более простому, так называемому «каноническому» виду. Посмотрим прежде всего, ири каких условиях надлежащим преобразованием (1) можно привести систему (А) к виду (невыписанные члены содержат гг и г; в степени не ниже второй)

duJdt = X\u + .. ., dv/dt = },2V + . ..

Подставляя в (2) выражения (1) для гг и г;, а затем заменяя dydts. dri/dt через их выражения из (А), мы, очевидно, получаем тождества. Приравнивая в этих тождествах коэффициенты при линейных членах, получаем следующие четыре липейпых однородных уравнения относительно коэффициентов ри, Р\2, Р21, Р22 искомого линейного преобразования:

Р\\{а- h) + Р12С = О, Р21 (а - Я2) + Р22С = О,

РпЬ+ Pl2(d-Ki)=0, P2lb + P22(d-X2) = 0.