§ 4. Замкнутые траектории, возможные в системе первой степени 158

негрубости

§ 5. Условия на сепаратрисы седел и седло-узлов в системе первой 158

степени негрубости § 6. Необходимые и достаточные условия первой степени негрубости 159 § 7. Динамические системы более высокой степени негрубости 160

Глава 10. Бифуркации при изменении правых частей динамической 163

системы

§ 1. Определение бифуркации 163

§ 2. Бифуркации систем первой степени негрубости 164

§ 3. Бифуркации некоторых типов сложных особых точек 171

§ 4. Бифуркации двукратной точки, для которой А=0 и ст= О 174

§ 5. Рождение предельных циклов из особых траекторий степени 178

негрубости выше первой Глава 11. Динамические системы, правые части которых содержат 180

параметры

§ 1. Возможный характер зависимости правых частей динамической 180

системы от параметров § 2. Смена качественных структур при изменении параметров 184

§ 3. Случай, когда правые части зависят более чем от одного параметра 190 § 4. Бифуркации "от бесконечности" 194

§ 5. Условия существования седло-узла и сложного фокуса первого 196

порядка

§ 6. Поворот векторного поля 200

§ 7. Метод малого параметра. Метод Понтрягина 203

Глава 12. Динамические системы с цилиндрической фазовой 208

поверхностью

§ 1. Цилиндрическая фазовая поверхность и характер траекторий, 208

возможных на цилиндрической фазовой поверхности § 2. Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр 209

§ 3. Приемы исследования качественной структуры динамической 212

системы на цилиндре § 4. Понятие грубости и степени негрубости для динамических систем 212

на цилиндре. Бифуркации на цилиндре. Поворот поля § 5. Динамические системы на цилиндре, близкие к гамильтоновым 215

(метод Понтрягина) Глава 13. Адекватное истолкование нелинейных физических 217

явлений фактами качественной теории и теории бифуркаций

динамических систем Введение 217

§ 1. Мягкий и жесткий режимы 219

§ 2. Замечания о границах области устойчивости различных 220

стационарных режимов § 3. Мягкое и жесткое возникновение колебаний 222

§ 4. "Безопасные" и "опасные" границы области устойчивости 225

состояний равновесия § 5. Замечания по поводу других границ области устойчивости 234

Часть III. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ Глава 14. Общие замечания о приемах качественного исследования 237 Введение 237

§ 1. Некоторые рецептурные указания 241

§ 2. Некоторые простые примеры качественного исследования 243

динамических систем на плоскости § 3. Некоторые простые примеры динамических систем на цилиндре 252 Глава 15. Исследование методом малого параметра (методом 258

Понтрягина)

§ 1. Общие замечания 258

§ 2. Примеры рассмотрения методом Понтрягина (полное исследование) 260 § 3. Исследование методом Понтрягина с привлечением 272

вычислительных методов Глава 16. Качественное исследование динамических систем с 285

использованием приемов, опирающихся на теорию

бифуркаций

§ 1. Квадратичное дифференциальное уравнение 285

§ 2. Электрическая цепь с туннельным диодом 292

§ 3. Двумерная модель динамики твердотельного лазера 305

§ 4. Симметричный полет самолета в вертикальной плоскости (задача Н. 313 Е. Жуковского)

§ 5. Система, описывающая динамику проточного химического 324

реактора

§ 6. Фазовая автоподстройка частоты 334

§ 7. Частотно-фазовая автоподстройка частоты (случай существования 340

трех предельных циклов) § 8. Синхронный генератор с асинхронной характеристикой 345

Часть IV. КУСОЧНО-СШИТЫЕ СИСТЕМЫ Глава 17. Общие сведения о кусочно-сшитых системах 357

Введение 357

§ 1. Сшитые системы. Доопределение на линиях сшивания 359

§ 2. Возможные типы полутраекторий сшитых систем 361

§ 3. Особые траектории сшитых систем 363

§ 4. Бифуркации в сшитых системах. Метод Понтрягина для сшитых 367

систем

Глава 18. Исследование кусочно-сшитых систем методом 382

Понтрягина

§ 1. Уравнение из теории электрических машин 382

§ 2. Автоподстройка при кусочно-постоянной аппроксимации 388

характеристики

§ 3. Автоколебания синхронного мотора 392

Глава 19. Качественное исследование сшитых систем методами 399

теории бифуркаций

§ 1. Кусочно-линейная система с тремя параметрами 399

§ 2. Следящая система с люфтом 404

§ 3. Электрическая цепь с туннельным диодом 408

§ 4. Система со скачками на линии сшивания 418 Глава 20. Об аппроксимациях и грубости пространства параметров 431

Введение 431

§ 1. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях пилообразными 433

функциями

§ 2. Рассмотрение системы (2) при аппроксимации, включающей 437 отрезок параболы

§ 3. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях кусочно-постоянной 439

для зтф и пилообразной для созф функциями § 4. Исследование роли аппроксимаций для уравнения маятникова типа 444

§ 5. Динамическая система, описывающая автоколебания синхронного 449

мотора

§ 6. Динамическая система, описывающая симметричный полет 458 самолета

Дополнение 463

§ 1. Динамические системы на двумерных поверхностях 463

§ 2. Динамические системы в п-мерном евклидовом пространстве 467

Список литературы 476

Список дополнительной литературы 483