A(xo. г/о) =

(Vo) y(Vo) а = Рх{х, у) + Qy{x, у).

Теор ема 2. Если система (А) является грубой в замкнутой области g, то у нее не может существовать в g состояния равновесия, для которого

A(xo, уо) = 0.

Действительно, условие А{хо, уо) = 0, очевидно, означает, что изоклины Р{х, у) = 0, Q{x, г/) = 0 в их общей точке Qixo, г/о) не просто пересекаются, а имеют кратную общую точку. Тогда очевидно, всегда найдется измененная система (Ж), у которой сколь угодно близко от точки О существует более одной общей точки, что противоречит грубости системы.

Из теоремы 2, очевидно, следует, что если система (А) является грубой в G, то в G могут существовать только простые состояния равновесия.

Состояния равновесия, возможные в грубой системе, будем называть грубыми состояниями равновесия.

Теорема 3. Простые состояния равновесия, у которых А >о, а¥=0, и у которых Д < О {т. е. простые состояния равновесия типа «узел», «фокус» и «седло»), являются грубыми (см. [12, 13]).

Отметим, что доказательство этой интуитивно очевидной теоремы хотя элементарно по идее (строится топологическое отображение области, содержащей состояние равновесия системы (А) на область, содержащую близкое состояние равновесия системы (А)), но довольно кропотливо.

Как мы видели в § 5 гл. 3, возможно еще также простое состояние равновесия, у которого А > О, о = О (т. е. у которого характеристические корни чисто мнимые). Это состояние равновесия рассматривается в следующем параграфе. Мы увидим, что оно является негрубым.

§ 3. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями, как было указано в § 5 гл. 3, может быть изучено после перехода к полярной системе координат путем рассмотрения функции последования г = /(го), построенной, например, на оси х. Рассмотрение такой функции последования для систем, близких к данной, т. е. построение функции последования

г = /(го)

Пусть Мо{хо, г/о) - состояние равновесия системы (А), В дальнейшем мы будем рассматривать величины

ДЛЯ надлежащим образом выбранной системы х = Р(х, у), у = = Q(x, у), близкой к данной, позволяет установить следующее предложение.

Теорема 4 (о рождении предельного цикла из сложного фокуса). Если состояние равновесия О системы с чисто мнимыми характеристическими корнями является сложным фокусом кратности к>1, то при любых е>0 ц>0 всегда существует такая 6-близкая к системе (А) система (А), у которой в е-окрестности состояния равновесия О существует по крайней мере один предельный цикл.

Естественно говорить, что предельный цикл Г системы (А), лежащий в указанной е-окрестности состояния равновесия О, «рождается из сложного фокуса» (см. также гл. 10, 11 и 13).

Теорема 5. Если состояние равновесия О системы (А) является центром, то при любом б > О существует измененная система (А), 6-близкая к (А), у которой состояние равновесия О является фокусом.

Доказательство утверждений теорем 4 и 5 элементарным образом может быть получено путем рассмотрения измененной системы, у которой действительные части характеристических корней не равны нулю, с привлечением функции г1(го), аналогичной ф(го) (см. § 5 гл. 3), построенной для такой измененной системы, и использованием выражения для первого не равного нулю из коэффициентов в разложении функции ф(го)).

Следующая теорема, дающая второе необходимое условие грубости системы, непосредственно вытекает из предыдущей теоремы.

Теорема 6. Если система (А) является грубой в G, то в G не может быть состояния равновесия, для которого А > О, а = 0.

§ 4. Замкнутые траектории, возможные в грубой системе. Замкнутые траектории, возможные в грубой системе, будем называть грубыми.

Как мы видели в гл. 5, свойства замкнутой траектории данной системы х = Р{х, у), y = Q{x, у) естественным образом изучаются с помощью функции последования s = f{s), построенной на дуге без контакта I (s-параметр на этой дуге). Рассматривая наряду с данной системой измененную систему

х = Р{х, у), y = Q{x, у), (А)

достаточно близкую к системе (А), построим на той же дуге I функцию последования, соответствующую такой системе (функция последования для системы (А), достаточно близкой к (А), на дуге I всегда существует в силу теорем 1-3 гл. 7). Тогда справедливы следующие предложения.

) См. также гл. И, где дано выражение для i, = «з = г)"(0)/3!.

) Обратим внимание на то, что при этом близость производных функций /(s) и f (s), вытекающая из близости производных от правых частей систем (А) и (А), существенна.

Действительно, при отсутствии требования близости производных функций /(s) и f (s) всегда можно указать функцию, сколь угодно близкую к /(s), которая в окрестности простой точки пересечения кривой s = /(s) с прямой S - S имеет любое данное число общих точек с этой прямой.

Доказательство этого предложения может быть проведено приемом, отличным от данного в [3, 13, 26].

Теорема 7. Замкнутая траектория с характеристическим показателем, не равным нулю, т. е. такая, для которой а\¥= i (см. ГЛ. 5), является грубой.

На диаграмме Ламерея (см. гл. 5) грубым предельным циклам, очевидно, соответствуют простые точки пересечения кривой s = f{s) с биссектрисой s = s. Если s = f(s) - функция последования спстел1ы (А), достаточно близкох"! к (А), то в силу требования близости производных от правых частей систем (А) и (А) не только сама функция f (s) близка к /(s), но и производная f(s) близка к производной f{s). При этом условии, очевидно, всегда существует только одна точка пересечения кривой s = /(s) с прямой S = S, близкая к точке пересечения кривой s = f{s) с этой прямой).

Пусть Lq - сложный /с-кратный (к > 2) предельный цикл. Следующая теорема аналогична теореме 4 настоящей главы.

Теорема (о рождении предельного цикла из сложного предельною цикла).

Если Lq - сложный (к-кратный при к>2) предельный цикл системы (А), то при любых б>0 и б>0 всегда можно указать такую систему (А), Ь-близкую к системе (А), у которой в г-окрестности Lq существуют по крайней мере два предельных цикла).

Мы будем говорить, что предельные циклы системы (А), существование которых доказано в теореме, «рождаются» из предельного цикла Lq.

Теорема 8. Если Lq - замкнутая траектория системы (А), и все траектории, проходящие через точки некоторой го-окрестности этой траектории, замкнуты, то при любом достаточно малом б>0 можно указать такую измененную систему (А), Ь-близкую к (А), у которой в г-окрестности Lq не существует ни одной замкнутой траектории.

Следующая теорема, дающая необходимые условия грубости динамической системы (А), непосредственно вытекает из двух предыдущих.

Теорема. Если система (А) является грубой в области G, то в области G не может существовать замкнутая траектория с характеристическим показателем, равным нулю.