траектории, целиком лежащей в ео-окрестности Lo), либо устойчивый прн Ос < О (соответственно неустойчивый при Ос > 0) предельный цикл С, к которому стремится одна из сепаратрис (Z-g) седла О (и, кроме седла О сепаратрисы и указанного цикла, больше нет ни одной особой траектории, целиком лежащей в ео-окрестности Lo), либо, наконец, лежит только седло О (все сепаратрисы которого при возрастании или убывании выходят из ео-окрестности Lo) и больше нет ни одной особой траектории, целиком лежащей в ео-окрестности Lo;

б) прилюбом е < ео существует б < бо (б = 6(e)) такое, что у всякой системы (А), б-близко11 к (А), у которой в ео-окрестности Lo С5ш;ествует сепаратриса L, образующая петлю или предельный цикл, эта сепаратриса или предельный цикл целиком лежит в е-окрестности Lo.

Таким образом, условие Ос < О (Ос > 0), достаточное для устойчивости (неустойчивости) петли, одновременно является необходимым условием того, чтобы при надлежащем характере разделения сепаратрис от петли рождался устойчивый (неустойчивый) предельный цикл и притом единственный.

V. Бифуркации сепаратрис седло-узла. Рождение предельного цикла из сепаратрисы седло-узла. Пусть у системы (А), являющейся системой первой степени негрубости, негрубой особой траекторией является седло-узел 0{хо, Уо)- Тогда в силу условий Г (см. гл. 9) ни одна из сепаратрис седло-узла не может идти в седло или являться и со- и а-сепаратрисой седло-узла.

Пусть Li и l2 - сепаратрисы седло-узла О, ограничивающие узловую область седло-узла, и Lo - третья сепаратриса седло-узла.

В случае Рх{хо,Уо) + <?у(01.УоХО узловая область седло-узла является устойчивой (со-узловой), а сепаратрисы Li и L2 - СО-сепаратрисами.

В случае Рх (о» Уо)-f <?у (01 Уо) > О узловая область седло-узла является неустойчивой (а-узловой), а Li и L2 - а-сепара-трисами.

Возможны следующие типы поведения сепаратрисы Lo, согласующиеся с условиями Г (см. § 6 гл. 9).

Va. (Сепаратриса Lo стремится к узлу, фокусу или предельному циклу ) при t-+oo или t--00 в зависимости от того, будет ли Lo а- или м-сепаратрисой седло-узла, и, значит, в зависимости от того, будет ли в седло-узле

Рх{Хо,Уо) +Qy{x„y,)<0

i(o.Io) + 0у{хо,Уо)>0.

В этом случае возможные бифуркации сепаратрисы Lo очевидны. Один из примеров изображен на рис. 103.

) Так как мы предполагаелг, что система (А) является системой первой степени негрубости, то в силу условий Г кроме седло-узла О все остальные особые траектории этой системы грубые.

Рис. 103, б соответствует тому случаю, когда седло-узел (рис. 103, а) разделяется на седло и узел, рис. 103, в - случаю, когда седло-узел исчезает.

V6. (11епаратриса Lo стремится к седло-узлу О и при t -* +оо, и при t---оо, однако не является со- п а-сепаратрисой седло-узла (рис. 104, а).

В этом случае при достаточно малых добавках к правым частям системы (А), при которых седло-узел разделяется (на

Рис. 103

седло и узел), мы получаем, очевидно, в окрестности Lo качественную структуру, изображенную на рис. 104, б.

При достаточно малых добавках, при которых седло-узел исчезает, от сепаратрисы Lo рождается предельный цикл, и притом

единственный (рис. 104, в). Этот предельный цикл устойчив, если в седло-узле мы имели

Рх{Хо,Уо) + 0у{Хо,Уо)<0,

и неустойчив, если в седло-узле мы имели

Рх{Хо,Уо) +v(o.J/o)>0

= 0.

Точнее;

а) существуют 8о > О, бо > О такие, что в 8о-окрестности сепаратрисы La седло-узла 0{хо, у о) системы (А), идущей из седло-узла в него же, у всех бо-близких к системе (А) систем (А) существует не более одного предельного цикла;

б] при любом е < 8о можно указать б < бо такое, что у всякой системы (А), б-близкой к системе (А) и такой, у которой в 8о-окрестности седло-узла О нет состояний равновесия, существует предельный цикл, целиком лежащий в 8-окрестности сепаратрисы Lo, и притом этот предельный цикл устойчив, если Р {х, у) -f Qy {х, у) < О, и неустойчив, если Р {х, у) +

§ 3. Бифуркации некоторых типов сложных особых точек.

Пусть для рассматриваемой системы

dx/dt = Р{х, у), dy/dt = Q{x, у)

точка 0{хо, Уо) является (изолированной) сложной особой точкой, т. е. особой точкой, для которой

ККУо) Р>оУо)

в этом случае всегда можно так изменить правые части этой системы, чтобы «сложная точка О» распалась на несколько особых точек, т. е. чтобы у соответстнуюш;ей измененной системы

dx/dt = Р{х, у) = Р{х, у) + р{х, у), dy/dt = Q{x, y) = Q{x, y)+q{x, у)

в достаточно малой окрестности точки О было несколько особых точек. Поэтому естественно ввести понятие кратности особой точки.

Определение. Особая точка 0{хо, у о) системы (А) называется т-кратной, если: а) существуют такие ео>0 и бо>0, что при всевозможных бо-добавках ранга т у соответствующей системы (А) в ео-окрестности О может быть не более чем тп особых точек; б) при любых б < бо и е < Eq всегда существуют такие б-добавки ранга т, при которых у соответствующей системы (А) в Е-окрестности точки О существует т грубых особых точек ).

3) Если бы среди т особых точек, на которые при сколь угодно малых добавках разделяется данная сложная особая точка О, была бы сложная особая точка (т. е. такая, для которой Д = 0), то всегда можно было бы указать такие сколь угодно малые добавки, при которых особая точка О разделялась бы более чем на т особых точек, что противоречит условию а). Если бы среди особых точек, на которые разделяется О, была бы простая, но не грубая особая точка (т. е. такая, для которой Д > О, а = 0), то всегда можно было бы указать и такие сколь угодно малые добавки, при которых все особые точки были бы грубыми. Кратность сложного состояния равновесия, очевидно, совпадает с кратностью общей точки любых двух различных изоклин, проходящих через эту особую точку.