При р = о седло уходит в бесконечность, образуя в точке с координатами м = О, z = О сложное состояние равновесия - топологическое седло. Общий интеграл имеет вид

(у2 + х- l/2)e2== = ft.

При ft<О кривые замкнуты, при h>0 кривые не замкнуты, при h - O получим параболу у + х - i/2 = О, которая является

.-.57

точна

Свдт-

Рис. 80

Рис. 81

сепаратрисой топологического седла на экваторе сферы Пуанкаре. Качественная картина изображена на рис. 81.

Значение параметра р = 0 является бифуркационным). При возрастании р от значения р = О сложная особая точка на

Седпо-дзеп

Рис. 82

Седла-цзел

экваторе распадается на два седло-узла на экваторе и седло в конечной части плоскости. Качественная картина на сфере Пуанкаре при О < р < 1 имеет вид, изображенный на рис. 82.

) Понятие бифуркации и бифуркационного значения параметра будет дано в гл. 10.

Значение параметра ц = 1 опять является бифуркационным. В этом случае сепаратрисами седла 0) и седло-узлов на

экваторе будут прямые у = ±{х- 1). Качественная картина имеет вид, изображенный на рис. 83.

При ц > 1 качественная картина имеет вид, изображенный на рис. 84.

Приведенные качественные структуры представляются исчерпывающими (единственно возможными) для консервативного

Рис. 84

Устойчибый фокис (дзет

случая Я, = 0. Для исследования качественной структуры при Я О удобно использовать консервативную систему в качестве системы сравнения.

Рассмотрим изменение качественной структуры разбиения сферы Пуанкаре на траектории в зависимости от параметра Я (Я>0) и найдем контактную кривую интегральных кривых системы (12) с интегральными кривыми консервативной системы.

Уравнение контактной кривой имеет вид

дН дН • х + -у = 0.

дх ду

В нашем случае будет Яг/ = 0. Заметим, что контакт на двойной прямой г/2 = 0 ложный, т. е. траектории системы (12) на прямой у = О пересекают траектории консервативной системы с касанием.

При изменении параметра Я:

1) Положение и характер состояний равновесия на экваторе сферы Пуанкаре не меняются.

2) Для всех КФО начало координат - фокус или узел, в точке 5(1/л, 0)- седло.

3) Замкнутые кривые консервативной системы, окружающие начало координат, превращаются в циклы без контакта для траекторий системы (12). Предельные циклы существовать не могут.

Рассмотрим, как изменяются качественные структуры при достаточно малых положительных значениях параметра %.

Сначала выясним, как изменяются направления сепаратрис седла при возрастании %. Перенося начало координат в точку S{lfn, 0), для направлений, по которым сепаратрисы входят (выходят) в седло, получим уравнение

к + %к+1 = 0.

При возрастании Я от значения Я = О направления, по которым сепаратрисы входят в седло S или выходят из седла, сместятся на отрицательный угол. Обратимся к рассмотрению отдельных случаев.

1. р.<0. Консервативный случай изображен на рис. 80. В силу вышесказанного один «ус» сед,ца. входит в область, заполненную замкнутыми кривыми, приближаясь к особой точке, другие

Спо/кная Dcvduf точна

Сеало-дзе/г

£.отс!я особая точна

Устойчивый фонуо

Рис. 86

СеЗла-1/зел

же «усы» седла проходят вне области, заполненной замкнутыми кривыми, приближаясь к узлам экватора. Качественная картина определяется однозначно и будет иметь вид, изображенный на рис. 85.

2. р.=0. Консервативный случай изображен на рис. 81. Для всех Я>0, проводя рассуждения, аналогичные случаю р.<0, получим картину, изображенную на рис. 86.

3. О < р. < 1. Качественная картина консервативного случая дана на рис. 82. В силу того, что при возрастании Я сепаратрисы смещаются на отрицательный угол, качественная картина разбиения на траектории сферы Пуанкаре для малых значений Я > О будет иметь вид, изображенный на рис. 87 ).

) Если рассматривать систему (1) при всевозможных положительных значениях "к, то поведение «усов» седла определяется неоднозначно (см. гл. 14, § 2).