(Ai) (А2)

где функция f{x, у) аналитическая, но может обращаться в нуль в области G (в которой рассматривается система). Очевидно в точках, где f{x, г/) = 0, правые части рассматриваемой системы (А**) не определены. Однако при указанном виде правых частей можно путем замены параметра t привести рассмотрение системы (А**) к рассмотрению системы вида (А).

Действительно, полагая при л; и г/, не обращающих в нуль f{x, у), dt = f{x, y)dx, мы получаем систему

dxldx Р(х,у), dy/d-c = Q(x, у). (AI

Эту же систему мы будем рассматривать и при х я у, обращающих в нуль функцию f{x, у) (что соответствует доопределению по непрерывности), так что система (А) будет определена во всей области G. Очевидно, во всякой части области G, в которой f(x, у) не обращается в нуль, траектории систем (А**) и (А) совпадают как точечные множества, однако параметры на них различны. При этом там, где f{x, у)> О, направление по т совпадает с направлением по t, а там, где f{x, г/)< О,--противоположно ему. Точки с координатами х и у, обращающими в нуль функцию f(x, у), в которых правые части системы (А**) не определены, естественно выделять и считать не принадлежащими траекториям системы (А) (к таким точкам, как нетрудно убедиться на простых примерах, точка может стремиться по траектории при стремящемся к конечному значению).

§ 9. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе. Если разделить одно из уравнений (А) на другое, то мы получим либо дифференциальное уравнение

di Q {X, у) dx Р {X, у)

либо дифференциальное уравнение

dx Р {X, у) dy Q (X, у)

Если M{xq, г/о)-точка области G, для которой Р{Хй, уо)0, то в силу теоремы о существовании и единственности решения существует единственное решение дифференциального уравнения (А), соответствующее начальным значениям хо, г/о:

y = f()- (4)

Уравнение (4) является уравнением в декартовых координатах траектории L, проходящей через точку Мо{хо, у о) (в окрестности этой точки). Оно, очевидно, может быть получено из решения системы (А): x = (f)(t), y = (t), соответствующего траектории L, исключением t (в окрестности точки Мо).

Если М(хо, г/о) - точка, в которой Р{хо, г/о)= О, но Q{xo, Уо) ФО, то можно использовать уравнение (Аг). Точки, в которых

одновременно Р{х, y) = Q{x, у)=0, называются особыми точками уравнений (Ai) и (Аг).

Одновременное задание уравнений (Ai) и (Аг) определяет все траектории системы (А), отличные от состояний равновесия. Но, в то время как из системы (А) уравнения траекторий находятся в параметрической форме, из дифференциальных уравнений (Ai) и (Аг) они находятся в декартовых координатах. Вместо написания двух уравнений (Ai) и (Аг) часто используются следующие симметричные относительно хиу записи:

Р{х, y)dy-Q{x, y)dx = 0, (Аз)

dx dy Р {.X, У) ~ Q (X, у)

Уравнения (Ai) и (Аг) определяют угловой коэффициент касательной к траектории, который в каждой точке может быть намечен с помощью ненаправленного отрезка (в го время как система (А) в каждой точке определяет вектор). Так, уравнение (Аз) или пара уравнений (Ai) и (Аг) задают поле «линейных элементов».

Кривые

Q{x, y) + CiP{x, у) = 0, Р{х, y) + C2Q{x, у) = 0

(ci и Сг - постоянные), во всех точках которых направление касательных к траекториям одинаково, называются изоклинами (линиями равного наклона) системы (А) (или уравнения (Аз)). В частности, при ci = О мы получаем кривую Q{x, г/)»=0 - изоклину горизонтальных наклонов, а при сг = О - кривую Р (х, у) = = 0 - изоклину вертикальных наклонов.

§ 10. Понятие интегральной кривой и интеграла в случае аналитических правых частей Р(х,у) и Q{x,y) системы (А). Термины «решение», «интегральная кривая» употреблялись выше в случае, когда правые части рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (в частности, уравнений (Ai) и (Аг)) удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности.

В классической литературе при рассмотрении системы дифференциальных уравнений, правые части Р{х, у) и Q(x, у) которых - аналитические функции, в термины «решение» и «интегральная кривая» вкладывается несколько иное содержание.

Именно, в этом случае решением уравнения (Ai) (или уравнения (Аг)) называется аналитическая функция y = f(x), определенная на некотором интервале значений х, xi<x<Х2, и удовлетворяющая уравнению (Ai) (или (Аг)) во всех неособых точках, но могущая принимать при некотором значении а такое значение & = /(а), что а, Ъ являются коорди-

") Действительно, пусть а:=ф(г-«о, xq, г/о), У = "{t - h, жо, Уа) ~ общее решение системы (А), где жо, уц достаточно близки к данным фиксированным значениям х*, у*. Если точка М* (х*, у*) - неособая, то Р(х, у) и Q{x, у) одновременно в нуль в ней не обращаются. Пусть, например, Р (х*, у*) фО. Мы рассмотрим все траектории в достаточно малой окрестности точки М*, если зафиксируем хд, положив его равным х, и будем менять уо (тот факт, что У*) ¥= О, означает, что вблизи М* прямая

х = х* не имеет контактов с траекториями), и тогда сделанное утверждение вытекает из свойства II § 1 гл. 2, т. е. если рассмотрим функции

Разлагая их в ряд по степеням г - = т, получим

х=.х;+р{х1у)г+..., y=y; + Q{iy,)r+...

Нетрудно видеть, что при т = О, Уп = Уд функциональный детерминант

D {x, У)

Q{<y*o) 1

= Р{-1у*о)фО.

Следовательно, разрешая эти уравнения относительно уо вблизи у* и т, мы получим (f{x, у) - X, F{x, у) = Уо, где последнее соотношение и является локальным общим аналитическим интегралом. Нетрудно показать,

что Р + РфО.

натами особой точки. Далее, если F{x, у) - функция, аналитическая во всех неособых точках уравнения (могущая, в частности, оставаться аналитической также и в особых точках) и такая, что

Fx л- Ру фО, но имеет место тождественное равенство

F {х, у) Р {x, у) + Fy {x, у) Q {x, у) = О, (5)

то соотношение

F{x, у)с

называется общим интегралом уравнения (Аз) или системы (А). В достаточно малой окрестности каждой неособой точки Mo{xq, г/о) аналитической системы (А) существует (локально) аналитический интеграл F.{x, у)=с). Давая с различные значения, мы будем получать уравнения «кусков» «локально» различных траекторий.

Пусть Ф{х, г/)-аналитическая функция и равенство

Ф; {х, у) Р {x, у) + Фу {х. у) Q {x, у) = О

удовлетворяется тождественно при значениях х, у, при которых

Ф{х,у) = 0, (6)

а ф;чф;о.