Главная страница  Приемы качественного исследования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [ 86 ] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

ращались в нуль, т. е. в случае, когда кривая Сп не проходит через седло и не вырождается в точку (центр).

Однако при рассмотрении конкретных примеров часто представляет интерес также и рассмотрение вырожденных случаев, т. е. слзгчаев, когда предельный цикл системы (А) рождается от петли сепаратрисы и из центра. Кроме того, обычно при рассмотрении конкретных задач функции р{х, у) и q(x, у) зависят от параметров, отличных от р, и естественно возникает вопрос: от каких из кривых Сл рождается предельный цикл системы (Ац) при различных значениях этих параметров?

Поэтому в конкретных задачах (как это будет проиллюстрировано на примерах) исследование методом Понтрягина проводится следующим образом.

Функция -(h), непосредственно определенная лишь для значений h, соответствующих интегральным кривым Ch без особенностей {отличным от состояний равновесия и сепаратрис), доопределяется по непрерывности {когда это возможно) и для значений h, соответствующих центрам и сепаратрисам.

Предположим, что функция я5(/1) доопределена для всех значений h, и пусть функции р{х, у) и q{x, у) зависят от некоторых параметров, например от двух параметров Я] и Я2. Очевидно, тогда и функция я]) также будет зависеть от этих параметров: {h. Я,, Яг).

Естественно при рассмотрении вопроса о циклах системы (Ац), сводящегося к рассмотрению нулей функции ф(/1, Яь Яг), выделить следующие «бифуркационные» (в полном согласии с ранее введенным смыслом этого термина) случаи и соответствующие им бифуркационные значения параметров Я1 и Яг.

1) Пусть при значении ho, соответствующем интегральной кривой системы (Ао), не имеющей особенностей, выполняются равенства

яз(/1о,Я1, Я2)= О, язл(/1о,Я1,Я2) = 0.

В этом слзгчае от кривой С консервативной системы может появиться более одного предельного цикла (в простейшем случае два).

2) Пусть значение ho, при котором

я1)(/1о, Яь Яг)= О,

соответствует вырожденной в точку кривой консервативной системы. В этом случае предельный цикл рождается (при "фл (/ifl, Я, Яз) = о) из состояния равновесия типа центра консервативной системы.

3) Пусть значение ho, при котором

{ho, Яь Яг)=0,



соответствует сепаратрисе консервативной системы. В этом случае предельный цикл системы может рождаться из петли сепаратрисы консервативной системы.

В дальнейшем при рассмотрении конкретных примеров естественным образом будут выделяться указанные бифуркационные значения параметров Ki.

Подчеркнем, что при использовании методов малого параметра (метода Пуанкаре или метода Понтрягина) не дается пш;а-ких оценок для тех значений ц, при которых у системы (Ац) существуют предельные циклы.

Этим методом можно получить лишь доказательство существования таких значений р, («достаточно малых», но без всякой оценки малости), при которых система (А) имеет предельный цикл.

Кроме того, прн доказательстве существования р.* > О такого, что при р, < р.* существует предельный цикл, родившийся от одной или нескольких кривых Сц консервативной системы, предполагается, что рассматривается ограниченная часть плоскости (без этого нредиоложения доказательство теряет смысл). Если же необходимо рассмотреть всю плоскость, то нужно специально рассматривать рождение предельных циклов из бесконечности.

Заметим еще, что так как в конкретных задачах выражения для функции \!p(h) и ее производных бывают столь сложны, что их аналитическое исследование представляется невыполнимым, то часто в задачах используется построение этой функции вычислительным путем. Это сделано в примерах § 3.

§ 2. Примеры рассмотрения методом Понтрягина (полное исследование).

Пример 1. Рассмотрим систему, которая (при предположении малости некоторых параметров) может служить моделью частотно-фазовой автоиодстройки частоты (см. [136]):

ф = 1/, !/ = JxjV-y- -8Шф. (1)

Очевидно, эта система является близкой к очень простой консервативной системе на цилиндре

ф = !/, !/=0,

интеграл которой

Я(ф, у)=уУ2 = к.

На плоскости (ф, у) это-прямые, параллельные оси ф, на фазовом цилиндре все кривые замкнуты (окружности). Составим



выражение для Ipih). Так как в рассматриваемом слзгчае

Р = 0, q = y~y-

1 + (Ру)

у - sm ф,

У-У-

---sin ф йф,

где, очевидно, у = У2й. Мы получаем

1 + flh j

ИЛН, вводя обозначение ti = l/2h, будем иметь

Ф(т1)= 2л - т] - 2Ьц [1 +(Рт1)2] -1}.

Для того чтобы найти значения h, при которых от кривой консервативной системы рождается предельный цикл, нужно, очевидно, рассмотреть уравнение (которое мы получим, если приравнять нулю числитель Xii]) выражения (2))

ЬЫ) = {1-У])[+(?>г])]-2Ьц =

= р23 + .р22 (1 + 26)71 + =0. (3)

Это - кубическое уравнение, которое может быть исследовано известными методами. Мы, однако, не будем останавливаться на его исследовании подробно, а покажем только, что сутцеству-ют как значения параметров 6, и р, при которых это уравнение имеет только один корень, так и значения параметров, при которых это уравненпе имеет три корня. Очевидно, слзгчай, когда уравнение (3) имеет один корень, соответствует случаю (при достаточно малых р,), когда существует один устойчивый предельный цикл, а случай, когда это уравнение имеет три корня, соответствует случаю, когда система (1) имеет три предельных цикла - два устойчивых и между ними неустойчивый.

При граничном значении у = О (по смыслу константы всегда > 0) уравнение (3) превращается в уравнение

[-PV-(1 + 26P)]ti = 0,

имеющее единственный действительный корень т] = 0. Очевидно, уравнение (3) будет иметь единственный действительный корень и при всех достаточно малых "f > 0. При достаточно больших Ц>0 151(П)<0 (член наивысшей степени по Т1 есть -rf, при Т1 > О он отрицателен). В нуле щ функции 1151(11), очевидно.




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [ 86 ] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]

0.0122