= 2яуо+ЯоФо{>-)1.2М- (13)

Здесь F{n/2, н) и Е{л/2, >с)-полные эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода и % изменяется в интервале о < >с < 1. Верхний знак соответствует индексу 1 в обозначении 41,2, а нижний - индексу 2.

Пример 3 (фазовая автоподстройка частоты). Рассмотрим динамическую систему

d(()/dt = y = P, = -зшф + f - Я(1 - й созф)?/== (10)

которая является одной из моделей фазовой автоподстройки частоты. Мы рассмотрим эту систему в предположении, что f ж К малы. Заменяя f на pfo и Я на рЯо (р>0), получим систему с малым параметром р,:

d(p/dt = y, dy/dt = -sin(f + n[io - ko{i - dcos(p)y], (11)

которую рассмотрим методом Понтрягина как близкую к консервативной, получающейся из (11) при р. = 0. При р = 0 система (И) имеет интеграл

(ф, У) - созф = /г

и семейство кривых имеет вид, представленный на рис. 138, а. Если систему (11) записать в виде

d(p/dt = Hy, dy/dt = -Н + \щ{ц),у), 2)

3 = f о - 0 (1 - cos ф) г/,

то значения константы h, выделяющие кривые консервативной системы, вблизи которых при малом р на верхнем и нижнем полуцилиндрах будут предельные циклы системы, соответственно определяют как корни уравнений

bih)=0, i)2(fe)=0,

т. е.

1,2 j" qdqi - pdy= J - Яо (1 - d cos ф) у] dtp, p = 0.

-я -я

Для yiih) уравнения замкнутых кривых Си (/г>1), охватывающих цилиндр, будут у = -ЬУ 2 (cos ф + /г), а для z (h) - будут г/ = -У2(созф-Ь/г).

Полагая % = 2/ (/г + 1), мы получим

1,2 {Щ= j" [ Yo + 0 (1 - cos ф) Y2 (cos ф + h)\ йф =

Значения константы h, выделяющие кривые Сн консервативной системы, охватывающие состояние равновесия, определяются как корни уравнения

15з(/г) = 0.

Здесь

(14)

з==Я-Р=11-Яо(1-

Ch Ch

d cos ф) ф dy

mCh- одна из кривых г/ = 2 (cos ф + /г) при - К /г < 1, Как нетрудно видеть,

%W = -2/2Яо J (1 -dcosф)/cosф + йdф,

где фо - корень уравнения cos фо + /г = О (геометрический смысл фо см. рис. 141).

Полагая (1 + й)/2 = >с (в интервале -1<й<1), для функции Понтрягина 15з(/г) окончательно получаем

%{h) = Яо{[(1 -k)F + {2у? -\)E\d-b[E-{i- у?) Л} =

зМ- (15)

Корни уравнений 4i(x) = 0, 2{у.) = 0, Чз(>«) = 0 зависят от

параметров "о, Яо, d. Пространство параметров можно разбить на области, соответствующие различным возможным распределениям корней уравнений. Каждому такому распределению будет соответствовать определенная структура разбиения фазового пространства на траектории. Условия появления или исчезновения корней (бифуркации) дают уравнения граничных поверхностей, разбивающих пространство параметров на области.

Для исследования поведения функций Понтрягина вычислим их производные по >с.

Рис. 141

Принимая во внимание, что

dF 1 dY, к

из (13) получим

dE dK

4+4Фх(>)

(16)

Здесь, как и в (13), верхний знак соответствует индексу 1 и введено обозначение

Oi(>c) = (2->c2)F-2E:.

(17)

Заметим, что Ф[{п) для >с ¥= О всегда положительно (приложение I).

Вторая производная будет

ip;,(>c) = ±8V

3F d

7x-8

Для находим

(>с)= 16Яо>с [2dE-(i + d)F],

(18) (19)

3 (с) = - 4x2) E-2{i-y)F\- Е). (20)

В дальнейшем будем считать фиксированным {q и проследим за возможными бифуркациями в плоскости параметров (Яо, d).

1. Бифуркации, связанные с поведением функции (х). Рассмотрим поведение 4i(x) на интервале О < х < 1. Используя разложения

= f(l--4l6-*----) для малых X из (13) находим

iPi(x) = 2jTYo-o

in nd , \ -К ---+ .. . --

(22)

где невыписанные члены уже не содержат х в знаменателе. Ив (22) следует, что

4,(0)= оо. (23)

Заметив, что (1)=°°, но (1 -x)F2->-0 при х1, из (13) находим

1Р,(1) = 2яуо + уЯо(й-3). Представим выражение для i(>c) из (16) в виде

(24)

(п)--+ d)F - 2Ed + {i- xypd], (25)