1 (По) < О, что И означает, что соответствуюгций предельный цикл устойчив.

Для доказательства сугцествования значений параметров, при которых у системы (1) сугцествует три цикла, найдем сначала значения параметров, при которых уравнение »5(11)=0 имеет трехкратный корень. При этих значениях параметров должны удовлетворяться следуюпчие три уравнения:

1 (11) = - f>W + yW - (1 + Щ) ri + Y = О, % (ri) = - Зрт! + ЗтРт! - (1 + 2ЬР) = О, (4)

Ф1(т1) = -6рг1 + 27р2 = 0. Из последнего уравнения находим

rio = f/3.

Подставляя это значение в первые два из уравнений (4) (и сокращая первое уравнение на f), получаем следующие два соотношения для параметров, при которых 115(11) имеет тройной корень (а система (1)-трехкратный цикл):

1 (5)

yT-(1 +2ад = 0.

Отсюда МЫ получаем значения для ( и ! + 2Ь, при которых выполняются условия (4) (т. е. уравнение iti(ii) = 0 имеет трехкратный корень):

Y = 27, 1 + 26 = 9.

Представим теперь ifi (/г) в следующем виде, раскладывая 151(т1) по степеням т] - т1о {у]о = f/3) и принимая во внимание, что Vi(rio)= 0:

1 in) = 1 Ш + (л - Ло) 1 (%) + (л - rlo) (6)

где 1 (т1о) = - О, когда Ф 0.

Но, очевидно, мы всегда можем, принимая во внимание выражение (5) и полагая

т. е. выбирая 1 + 2Ь так, чтобы i)i (tio) = О, взять таким, чтобы

[ (По)=4- - (1 + т = т f?>" -3(1 + 4 Р) = - 3

было бы не равно нулю и знака, противоположного знаку 1 (Ло)- Тогда, очевидно, уравнение (6), которое принимает вид

1 (л) = 1 (%) (л - rio) + (Г1 - riof,

будет иметь, кроме ц = Цо, еще два различных корня, т]! и ti2. Нетрудно, принимая во внимание вид i5i(ti), а значит, и знак iCo) убедиться в том, что больший и меньший корни соответствуют устойчивым предельным циклам, а средний - неустойчивому предельному циклу.

Пример 2 (динамическая система, описывающая динамику синхронного мотора в простейшей идеализации). Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид

Ф + Ьф + sin ф = f > Т 0. Ь>0. (7)

Полагая b = цЬо, f = p-fo и записывая уравнение (7) в виде системы, получаем

y=.dH/dy = P(q>, у),

у = -sin Ф + р. (fo - ЪоУ) = -дН/д(р + q = Q (ф, г/, ц),

где Я(ф, г/) = г/2/2 - cos ф, ? = - hy. Семейство кривых

г/2/2 - cos ф =

имеет вид, представленный на рис. 138, а.

Значениям h из интервала -К h < + 1 соответствуют замкнутые траектории, охватывающие состояние равновесия типа центра, значениям h из интервала 1 < < с» - замкнутые траектории, охватывающие цилиндр; при /г = 1 сепаратрисы седла образуют петлю, охватывающую цилиндр (см. рис. 138, а).

По критерию Бендиксона (Рф + Qy = - ро О) циклов, охватывающих состояние равновесия, нет. Функция Понтрягина для верхнего полуцилиндра имеет вид +л +я

T;(fe)= J дгйф= j [yo -0 lK2(cosф +/г)]ф. -я -я

Для нижнего полуцилиндра соответствующая функция будет отличаться знаком перед радикалом и, следовательно, всегда будет положительной. Поэтому на нижнем полуцилиндре циклов нет. Полагая % = 2/{h+ 1), мы получим

ф(/г) = ¥(>с) =

= 2луо - Ь, /2 J /l->c(sin6)2 dQ = 2ny, -E,

где Е - полный эллиптический интеграл второго рода:

Далее мы имеем

dE dy,

E - F

где F - полный эллиптический интеграл первого рода и

- >с* + ...

4 4-16

Используя разложения (8) и (9), мы, очевидно, получаем

Для существования циклов необходимо, чтобы г)(/г) = Ч(х) = 0

Очевидно, нули этого уравпенпя будут абсциссами точек пе-

я 7„

ресечения кривой z=E{k) и прямой г = -->с(рис. 139). Уравнение может иметь не более одного корня х = хо, так как

Рис. 139

Рис. 140

dE/d% < О при X ¥= 0. Из условия хо = 1 находим границу области существования предельного цикла:

-=1, или bo = Y„.

Плоскость параметров представлена на рис. 140. Заштрихованная область соответствует значениям параметров, при которых есть цикл.