§ 2. Смена качественных структур при изменении параметров . 184 § 3. Случай, когда правые части зависят более чем от одного параметра ............... 190

§ 4. Бифуркации «от бесконечности»........ 194

§ 5. Условия существования седло-узла и сложного фокуса первого порядка.............. 196

§ 6. Поворот векторного поля.......... 200

§ 7. Метод малого параметра. Метод Понтрягина..... 203

Глава 12. Динамические системы с цилиндрической фазовой поверхностью ................208

§ 1. Цилиндрическая фазовая поверхность и характер траекторий,

возможных на цилиндрической фазовой поверхности . . . 208 § 2. Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр .... 209 § 3. Приемы исследования качественной структуры динамической

системы на цилиндре...........212

§ 4. Понятие грубости и степени негрубости для динамических

систем на цилиндре. Бифуркации на цилиндре. Поворот поля 212 § 5. Динамические системы на цилиндре, близкие к гамильтоновым (метод Понтрягина)..........215

Глава 13. Адекватное истолкование нелинейных физических явлений фактами качественной теории и теории бифзгркаций динамических систем...............217

Введение................217

§ 1. Мягкий и жесткий режимы.........219

§ 2. Замечания о границах области устойчивости различных стационарных режимов...........220

§ 3. Мягкое и жесткое возникновение колебаний.....222

§ 4. «Безопасные» и «опасные» границы области устойчивости

соетоянпй равновесия...........225

§ 5. Замечания по поводу других гранпц области устойчивости 234

Часть III

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ с АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ Ч.АСТЯМИ

Глава 14. Общие замечания о приемах качественного исследования 237

Введение................ 237

§ 1. Некоторые рецептурные указания........ 241

§ 2. Некоторые простые примеры качественного исследования динамических систем на плоскости........ 243

§ 3. Некоторые простые примеры динамических систем на цилиндре ............... 252

Глава 15. Исследование методом малого параметра (методом Понтрягина) ................258

§ 1. Общие замечания............258

§ 2. Примеры рассмотрения методом Понтрягина (полное исследование) ...............260

§ 3. Исследование методом Понтрягина с привлечением вычислительных методов.............272

Глава 16. Качественное пееледование динамических систем с использованием приемов, опирающихся на теорию бифуркаций . 285

§ 1. Квадратичное дифференциальное уравнение.....285

§ 2. Электрическая цепь с туннельным диодом.....292

§ 3. Двумерная модель динамики твердотельного лазера . . 305

§ 4. Симметричный полет самолета в вертикальной плоскости

(задача Н. Е. Жуковского).......... 313

§ 5. Система, описывающая динамику проточного химического

реактора............... 324

§ 6. Фазовая автоподстройка частоты........ 334

I 7. Частотно-фазовая автоподстройка частоты (случай существования трех предельных циклов)........ 340

§ 8. Синхронный генератор с асинхронной характеристикой . 345

Часть IV

КУСОЧНО-СШИТЫБ СИСТЕМЫ

Глава 17. Общие сведения о кусочно-сшитых системах . . . 357

Введение................ 357

§ 1. Сшитые системы. Доопределение на линиях сшивания . . 359

§ 2. Возможные типы полутраекторий сшитых систем . . , 361

§ 3. Особые траектории сшитых систем....... 363

§ 4. Бифуркации в сшитых системах. Метод Понтрягина для сшитых систем.............. 367

Глава 18. Исследование кусочно-сшитых систем методом Понтрягина .................. 382

I 1. Уравнение из теории электрических машин..... 382

§ 2. Автоподстройка при кусочно-постоянной аппроксимации характеристики ............. 388

§ 3. Автоколебания синхронного мотора...... 392

Глава 19. Качественное исследование сшитых систем методами теории бифуркаций............. 399

§ 1. Кусочно-линейная система с тремя параметрами . . . 399

§ 2. Следящая система с люфтом......... 404

§ 3. Электрическая цепь с туннельным диодом..... 408

§ 4. Система со скачками на линии сшивания...... 418

Глава 20. Об аппроксимациях и грубости пространства параметров 431

Введение................ 431

§ 1. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях пилообразными функциями............ 433

§ 2. Рассмотрение системы (2) при аппроксимации, включающей

отрезок параболы . ........... 437

§ 3. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях кусочно-постоянной для sin ф и пилообразной для cos ф функциями. . 439

§ 4. Исследование роли аппроксимаций для уравнения маятни-

кова типа............... 444

§ 5. Динамическая система, описывающая автоколебания синхронного мотора............. 449

§ 6. Динамическая система, описывающая симметричный полет

самолета............... 458

Дополнение............... 463

§ 1. Динамические системы на двумерных поверхностях . . . 463

I 2. Динамические системы в л-мерном евклидовом пространстве 467

Список литературы.............. 476

Список дополнительной литературы.......... 483