*) Очевидно, т является также кратностью общей точки О изоклин системы (А).

Очевидно, особая точка кратности т может при надлежащем выборе добавок разделяться и на меньшее, чем т, число особых точек, и, в частности, могут быть такие сложные особые точки, которые при надлежащим образом выбранных, но сколь угодно малых добавках исчезают (например, седло-узел).

Теорема 1. Индекс сложной особой точки О кратности т равен сумме индексов тех особых точек, на которые сложная особая точка О может разделяться при сколь угодно малых добавках ранга т.

1. Разделение при малых добавках к правым частям системы (А) сложной особой точки о с одним нулевым характеристическим корнем (т. е. особой точки, для которой А = 0, в¥=0) на грубые особые точки. Такая сложная особая точка была рассмотрена в гл. 4. В окрестности такой особой точки, как мы видели (см. § 2 гл. 4), система может быть приведена линейным неособым преобразованием к виду

dx/dt = Р{Х, у) = Р2{Х, у),

dy/dt = Q{x, y) = Q2{x, y)+by,

где P2(x, у), Q2{x, г/)- функции, разложения которых по степеням х, у начинаются с членов не ниже второй степени, и ЬО.

В гл. 4 были введены в рассмотрение следующие функции:

а) = ф(.)1 являющаяся решением уравнения

by + Q2{x, у) = 0\

б) z = \p{x)==P2{x, ф(а;))= АтХЧ-... (не выписанные члены содержат х в степени выше т), где АтО и т>2.

Как мы видели (см. гл. 4), четность и нечетность т и знак Лт и 6 определяли характер рассматриваемой особой точки.

Наряду с системой (А) будем рассматривать измененную систему

dx/dt = P{x, у) + р{х, у)Р(х, у),

dyldt = Q{x, y)+q{x, y) = Q{x, у).

Теорема 2. Если АтО, то кратность особой точки О системы (А) есгь т).

Теорема 3. Если кратность особой точки О системы (А) есть т {т>2), то число грубых состояний равновесия {Oi, О2, .. ., Ой) системы (А), на которые точка О может разделиться при сколь угодно малых добавках р{х, у) и q{x, у) ранга т, при т нечетном может быть любым нечетным числом, меньшим

) Здесь, очевидно, речь идет об особенности кривой, а не дифференциального уравнения.

или равным т, при т четном - любым четным числом, меньшим или равным т; при этом:

1) если О имеет характер узла (г. е. т нечетно и Ат<0), то число грубых узлов среди особых точек Ои • • , 0 системы (А) на единицу больше числа грубых седел;

2) если О имеет характер седла (г. е. т нечетно и Ат>0), го число грубых седел среди особых точек Oi, ..., 0 системы (А) на единицу больше числа грубых узлов;

3) если О имеет характер седло-узла {т. е. т четно), то среди особых точек Oi, ..., 0 системы (А) число узлов равно числу седел.

Замечание 1. В силу того, что в рассматриваемой особой точке а¥=0, ни при каких (достаточно малых) добавках среди грубых особых точек Oi, ..., Oj системы (А) не может быть фокусов и не может быть также предельных циклов, рождающихся пз состояния равновеспя О (это элементарно устанавливается использованием критерия Дюлака).

Замечание 2. Из настоящей теоремы, очевхщно, следует, что индекс состояния равновеспя 0(0, 0) системы (А), имеющего характер узла, равен 4-1, имеющего характер седла, равен - 1, и имеющего характер седло-узла, равен 0.

В случае системы (А) изоклины, имеющие наклон, отличный от нуля, не пмеют особенности в точке 0).

Нетрудно впдеть, что в рассматриваемом простейшем случае сложной особой точки ее качественный характер полностью определяется числом и характером грубых состояний равновесия, на которые она разделяется.

II. Разделение прп малых добавках к правым частям системы (А) сложной особой точки О (О, 0) с двумя нулевыми корнями (А = 0, ofO), для которой Р*(0,0)-t-I Ру (0,0)1+ -Ь л(0, 0)1-t-[у(0, 0)1=0, на грубые особые точки. Как уже было указано в гл. 4, в этом случае система может быть приведена Л1шейным неособым преобразованием к виду

dxIdt =by + Р* {х, у)==Р{х,у), dy/dt = С* {х, y)Q {х, у); (В)

как и в гл. 4, рассмотрим функции:

1) функцию у = Ц){х), являющуюся решением уравнения

by + Р* [х, у) = 0;

2) функцию

Z = г)(х) = «За {х, (р{х)) = Атх" + ...

Здесь т>2 ж АтФО.

Наряду с системой (В) будем рассматривать всевозможные измененные системы

dx/dt = P{x, у) = Р{х, у) + р{х, у),

dyldt = Q{x, y)=Q{x, y) + q{x, у),

достаточно близкие до ранга т к системе (В).

Имеют место предложения, полностью аналогичные теоремам 1 и 2.

Теорема 4. Если АтФО, то кратность особой точки О системы (В) есть т.

Теорема 5. Если т -кратность состояния равновесия О, то число к грубых состояний равновесия системы (В) Oi, ... ..., Ok, на которые О может разделиться при сколь угодно малых добавках р(х, «/) и q(x, у) ранга т, при т нечетном может быть любым нечетным числом, меньшим или равным т, при т четном - любым четным числом, меньшим или равным т, и при этом:

1) если т нечетно и особая точка О либо имеет характер узла или фокуса, либо является особой точкой с эллиптической областью, то среди особых точек Oi, О2, 0 системы (В) число грубых узлов или фокусов на единицу больше числа грубых седел;

2) если т нечетно и О имеет характер седла, то среди особых точек Oi, ..., 0 число грубых седел на единицу больше числа грубых узлов или фокусов;

3) если т четно, т. е. особая точка О либо является вырожденной особой точкой, либо имеет характер седло-узла, то число грубых узлов или фокусов равно числу седел.

Замечание 1. В рассматриваемом случае о = О всегда можно указать такие, сколь угодно малые до ранга т добавки, при которых среди грубых особых точек Oi, ..., О» системы (В) были бы фокусы и такие добавки, при которых существовали бы предельные циклы (целиком лежащие в сколь угодно малой окрестности О).

Замечание 2. Индекс особой точки О системы (В), имеющей характер узла, фокуса или являющейся особой точкой с эллиптической областью, равен -Ы, индекс особой точки О, имеющей характер седла, равен -1 и индекс особой точки О, имеющей характер седло-узла или вырожденной, равен 0.

§ 4. Бифуркации двукратной точки, для которой А = О и

о = 0. В предыдущих параграфах было рассмотрено расщепление при малых изменениях правых частей некоторых типов сложных состояний равновесия на грубые состояния равновесия (можно также установить расщепление на состояния равновесия, среди