полосу, они изменяются во времени очень медленно, или, другими словами, их спектральные составляющие находятся в области частот много ниже частоты собственных колебаний. Задача теперь состоит в том, чтобы найти рещение уравнения (8.12) с общим видом (8.13).

Так как функции a(t) и i])(/) представляют стохастические процессы, они могут быть точно определены только на языке своих статистических свойств. В частности, нам придется иметь дело с их спектральными плотностями и взаимной спектральной плотностью. Эти характеристики получают из решения уравнения (8.12) аналитическим методом, который наглядно демонстрирует влияние квадратичной нелинейности на характер спектра выходного шума. Прежде чем обсуждать подробности этого решения, поучительно рассмотреть общий вид спектра выходной функции, определяемой формулой (8.13).

8.5. Выходной спектр

Возможно, кратчайший способ вывести выражение для спектральной плотности Sj,(co) выходного напряжения (8.13) - это сначала построить автокорреляционную функцию фо(т), которую затем можно использовать вместе с теоремой Винера -

Хинчина для получения 5и(со).

По определению автокорреляционная функция v(t) описывается выражением

= l im f v{t)v{t+%) dt, (8.14)

где T - время наблюдения, x - задержка, a черта означает усреднение по ансамблю. Подынтегральная функция имеет вид

v{f)v{t-\-x)R (t) R {t+x) cos [coo-(01 X

X cosK(i+T)-ф(+т)], (8.15)

где v{t) заменяем выражением (8.13) и для краткости полагаем R{t)=Vti[l-{-a(t)]. Далее, произведение тригонометрических членов в выражении (8.15) можно записать в виде cos («(/-%) cos [Юо (+т)-%] =

[cos ЮрТ cos (%-*!)+sm ©оТ sin (%-*!)]+

-f ~ {cos 2(Оо cos [СОоТ- (% + я1з2)] -

- sin 2соо sin [ЮоТ- (%+2)]}, (8.16)

<Р„ (т) = -f 7? (t) r {t+т) {cosа)„т cos (+т)-ф {t)]-i-

-f-sintO(,Tsin[i]5(+T)-ф(0]}. (8.17)

В выражении (8.17) можно провести упрощение, считая, что разность фаз il5(-fT)-(t)\ много меньше единицы. Тогда, разлагая в ряд до второго порядка тригонометрические члены, содержащие разность фаз, находим, что

(т) c-Lr(Оr{t-i-x)\\l -Lг) + (0)Н-

+11) (-)-т) г]) (О cos (Ofl-t + № (+т)-(01 sin tOgTJ = = (V/2) {[l-фЛO)+)-фЛ]cosco„т--

+ [ффа(С) - ФаФ (-Г)] Sin WoT), (8.18)

где ipa (т) и (т) - автокорреляционные функции флуктуации амплитуды и фазы соответственно, а

. Ф) = Фа*(-) = lim Г {t+x)a{t)dt (8.19)

определяет взаимную корреляцию между a{t) и ф(0- Заметим, что это приближение получено в предположении, что средние значения амплитудной флуктуации а (О и разности фаз

[ф(--т)-{i)] равны нулю.

Теперь можно получить спектральную плотность v{t) из выражения (8.18) с помощью интеграла обратного преобразования Винера - Хинчина

ЗЩ = 2 j ф„ (т) ехр (-/ют) dx, (8.20)

где пределы интегрирования (-оо, оо) выбраны для удобства

где il)i=i]5() и ф2=ф(+т). После подстановки этого выражения в выражение (8.15) и интегрирования в соответствии с выражением (8.14) второй член в квадратных скобках даст нулевой результат. Это происходит из-за присутствия в этих скобках детерминированных членов, содержащих cos2mt и sin2ft)oi, которые зависят от времени после усреднения по ансамблю, а процессы a{t) и \{t)-стационарны. Остальную часть подынтегрального выражения, не зависящую от ,t после усреднения по ансамблю, можно вынести за знак интеграла, что дает

обращения с взаимно корреляционными функциями фч)а(т) и фа.ф(т). Производя подстановку для фа(т), находим спектральную плотность

S„и = (V/4) {4at [1 -фф (0)] [б (со-а)„)+б(а)+а)о)] +

+15„ («-a)o)+S„(«+4)]+[S* (ю-а)р)+5ф (со+сй„)] +

+[Сф„(«-«о)-С,„ («+«о)]}- (8.21)

Новые функции в этом выражении определяются следующим образом: Sa((o) и 8{(л)-спектральные плотности мощности a{t) и 1])(0 соответственно, „(ю) =2ImSc((o), где STto) - взаимная спектральная плотность между a{t) и ij)(), а Im означает мнимую часть. Структура правой части выражения (8.21) такова, что достаточно рассматривать только положительные значения со, но в этом случае следует ввести множитель 2, чтобы учесть отрицательную область частот. Если затем положить (о>0 и принять во внимание, что a{t) и г1)() - низкочастотные функции, спектральные плотности которых су-щественны лишь при со-Ссор, станет очевидно, что члены 5а(.сй+(Оо), 5,((o-fcoo) и Са(й)+с[)о) В формулс (8.21) пренебрежимо малы при частотах, близких к «о (т. е. в интересующей нас области). Отсюда следует, что спектральную плотность выходного напряжения генератора можно представить выражением

S„ («) = \- {4я[1 -фф (0)] б(со-Шо)+5„ ((о-«о) +

+S(tu-(o„)+C,p„(-«o)} (8.22)

для частот вблизи частоты собственных колебаний.

Член, содержащий дельта-функцию в выражении (8.22), описывает влияние шума на собственные колебания: ослабление влияния дельта-функции происходит из-за флуктуации фазы. Из остальных членов, представляющих шумовые боковые полосы по обе стороны от несущей частоты, первый член - АМ-шум, второй - ЧМ-шум, а третий описывает AM-ЧМ-ко-герентность на боковых полосах.

В отсутствие какой-либо когерентности шум симметричен относительно частоты собственных колебаний, так как :5а(<й-сйо) и 5,1, (ю-Юр) - четные функции (со-йр). С другой стороны, С,фа(со-Юр) - нечетная функция (ю-юр), и, еледова-