S,(©) = 2va2F(/co)P, (2.41)

где - значение среднего квадрата для йй. Выражение (2.41) представляет собой запись теоремы Карсона [18].

Для более общего случая несимметричного распределения йи относительно нуля в выражении для спектральной плотности появляется добавочный член, соответствующий уровню постоянного тока. Этот дополнительный член выводится из отмеченной штрихом суммы в выражении (2.40). В итоге имеем результат Б общем виде:

(со) = 2va IF (jw) p-f 4ял; (tf б (ю). (2.42)

Член, содержащий дельта-функцию, получают, вычисляя ехр(-jcdtk) с использованием при этом функции плотности вероятности Пуассона 1/Т, затем устанавливая тождественность

между F{0) и if(t)dt и, наконец, заменяя lim2sin2((or/2)/(o2r на яб(со)").

Теперь можно применить теорему Винера - Хинчина к

Sx((i)) в выражении (2.42), чтобы получить автокорреляционную функцию последовательности случайных импульсов. Применяя интеграл обращения в выражении (2.336), имеем

оо оо

Фа: () = J I Р (М Г cos caxdco 2Х {tf J б (со) cos coTdco =

оо

= JI F (ую) f cos (oтdcй+7(0 (2.43)

По теореме Парсеваля [соотношение (2.26)] интегралы в этом выражении можно заменить на интегралы по времени, что приводит к альтернативному представлению

= V? j / (О / (/+т) dt+Tiff. (2.44)

Когда т=0, автокорреляционная функция равна значению среднего квадрата и, следовательно, из выражения в общем

" Функция sm(Nt)lnNP служит еще одним примером функции gw(0 которая удовлетворяет условию (2.7), т. е. обладает свойствами дельта» функции в приближении больших N.

ричного распределения аи относительно нуля слагаемое со штрихом равно нулю и спектральная плотность имеет вид

виде (2.44) получаем

[W)=J (О dt.

(2.45)

что является записью теоремы Кемпбелла о среднем квадрате. Теоремы, названные его именем, подробно рассматривались в литературе в работах самого Кемпбелла [5], а также некоторых других авторов, в том числе Роланда [19] и Кемпбелла и

Рис. 2.3. Односторонняя спектральная плотность мощности (с) и автокорреляционная функция импульсного процесса (б).

Фрэнсиса [6]. Райе [18] обобщил теорему о среднем квадрате, включив средние «-го порядка.

Когда функция формы является дельта-функцией, преобра-зовапие Fja) равно единице и последовательность случайных импульсов называют импульсным процессом. Из формулы (2.42) получаем спектральную плотность такого процесса

S((o) = 2va-}-4nx{tf8{a), (2.46)

и выражение (2.43) дает автокорреляционную функцию в виде

7(T) = ve jcoscoтdo)+x(02 = vPб(т)+7(0 (2.47)

где интеграл заменили дельта-функцией согласно соотношению Фурье (2.18а). Выражения (2.46) и (2.47) иллюстрируются на рис. 2.3. Заметим появление дельта-функции в источнике в обоих случаях: спектральной плотности и автокорреляционной функции. В последнем случае имеется некоторое осложнение, а именно значение среднего квадрата импульсного процесса

2.7. Простой дробовой шум

Случайная эмиссия электронов из катода термоэлектронного диода приводит к возникновению тока во внешнем контуре, который можно представить как последовательность случайных импульсов. Во время пролета к аноду электрона, эмитированного катодом, появляется импульс тока смещения и сумма всех таких импульсов дает полный ток. По аналогии с шумом мелкой дроби, сыплющейся в контейнер, флуктуации тока диода называют «дробовым шумом» [20]. Простой дробовой шум - это флуктуации тока, вызываемые электронами, которые эмитируются случайно и независимо друг от друга, не взаимодействуя между собой во время пролета к аноду.

Если предположить, что время пролета бесконечно мало, то каждый элементарный импульс можно представить как импульс, площадь которого равна электронному заряду. Тогда ток в схеме в любой момент времени является импульсным процессом

iit)=-qb{t-t), (2.48)

где q - величина электронного заряда; 4 - момент времени, когда k-iv электрон эмитируется катодом, а К - полное число импульсов в импульсной последовательности с длительностью Г. Линейная суперпозиция в выражении (2.48) является частным случаем выражения (2.36) для последовательности случайных импульсов, если функция формы есть дельта-функция.

Отсюда следует, что теорема Кемпбелла о среднем квадрате для импульсного процесса неверна.

не определено*) в соответствии с равномерным распределением спектральной плотности по бесконечно широкому частотному диапазону. Конечно, функции формы сигналов, встречающихся в физической реальности, никогда не бывают чисто импульсными. Какими бы узкими они ни были, они всегда имеют конечную ширину. Вследствие этого спектральная плотность последовательности импульсов резко уменьшается на частотах выше частоты, обратной ширине импульса, и дельта-функция в источнике в автокорреляционной функции исчезает; таким образом, значение среднего квадрата становится конечным, и противоречие устраняется.