где X - среднее число событий в секунду внутри объема резистора. Теперь, если п - плотность электронов в материале и Tf - среднее время свободного пробега между соударениями, то

v = nALfcf. (2.55)

Этот результат вытекает из дополнительной теоремы для распределения Пуассона (приложение 3). Мы также имеем, что

R = L/{nqiiA), (2.56)

где ц - подвижность. Подробное рассмотрение на основе представлений статистической механики, приведенное в приложении 3, показывает, что подвижность можно выразить как

lx = ql/(2XfkQ), (2.57)

где k - константа Больцмана, а 6 - абсолютная температура. Объединяя выражения (2.54) - (2.57), получают спектральную плотность флуктуации напряжения разомкнутого контура

а из простого преобразования схемы следует, что спектральная плотность флуктуации тока в короткозамкнутом контуре равна

Для всех частот, представляющих практический интерес, член пренебрежимо мал. Два выражения (2.58) и (2.59)

в таком случае переходят в ikQR и 4kQ/R соответственно, т. е. имеем классические формулы, полученные впервые Найквистом [16] на основе второго закона термодинамики и предпосылки о равномерном распределении энергии между резистивными элементами в равновесии. Эти две формулы, известные под названием теоремы Найквиста, рассматриваются в дальнейшем в приложении 2.

го события в резисторе. Его обратное преобразование, функция формы импульса, представляет собой спадающую экспоненту с постоянной времени, равной Так как вероятности обнаружить положительные и отрицательные значения If равны, среднее значение флуктуации на клеммах равно нулю. Если в выражении (2.41) для теоремы Карсона величину jF(/(o) приравнять величине (i?/L)/(H-/coTi) из формулы (2.53), то получим спектральную плотность флуктуации напряжения на клеммах

2vq {RILf Tf

2.9. Нестационарные процессы

Как мы видели в разд. 2.5, автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности стационарного стохастического процесса определены в терминах средних по ансамблю, взятых в пределе, когда время наблюдения Т стремится к бесконечности. При стационарном процессе эти пределы сходятся к определенным конечным значениям.

Однако, если процесс нестационарный, понятие средней мощности, взятой в пределе при Г-voo, теряет смысл, потому что, вообще говоря, этот предел не существует. Это не означа-

" Система, например ансамбль электронов в резисторе, может быть описана в обозначениях координат момента и положения в фазовом пространстве. Каждой точке соответствует момент и положение всех частиц в ансамбле. Если при внесении энергии извне система выводится из положения равновесия, то она переходит в новую область в фазовом пространстве, но затем возвращается, т. е. релаксирует к состоянию равновесия, в область, которую она первоначально занимала. Вероятность, что она затем спонтанно вернется к своим предыдущим неравновесным координатам, пренебрежимо мала. Именно это имеют в виду, когда говорят, что система необратима.

Автокорреляционные функции флуктуации напряжения и тока теплового шума следуют непосредственно из формул (2.58) и (2.59), если применить теорему Винера - Хинчина. Например, автокорреляционная функция флуктуации напряжения описывается формулой

Экспоненциальный вид этого выражения характерен для процесса релаксации. Значение среднего квадрата, получаемое из выражения (2.60), есть величина k6R/xi, которая становится бесконечно большой, если время релаксации становится бесконечно малым. В этом приближении тепловой шум является импульсным процессом.

Говорят, что диссипативные системы необратимы), по крайней мере для времен, больших времен релаксации. Эйнштейн установил, что при сохранении состояния равновесия такие системы обычно становятся источниками случайных флуктуации в некотором присущем им параметре. Таким образом, тепловой, шум - это внутренне присущее и неустранимое свойство рези-стивных материалов и часто принципиально является тем пределом, ниже которого нельзя ослабить шумы в электронном приборе.

x{t-{-x)x{t)dt. (2.61)

Конечные пределы интегрирования появились вследствие предположения, что x{t) равно нулю вне интервала наблюдения [О, Г]. Подынтегральное выражение в формуле (2.61) есть функция ковариации процесса x{t). Если бы процесс x{t) был стационарным, функция ковариации не зависела бы от t и, следовательно, в пределе при Г-оо была бы равна автокорреляционной функции. Но при нестационарном x{t) функция ковариации не является независимой от и не равна автокорреляционной функции. Это наглядное подтверждение неприменимости эргодической теоремы в случае нестационарных процессов.

2.10. Процесс Винера - Леви

Известен частный вид нестационарного процесса под названием процесса Винера - Лёви. Это предельный вид случайного блуждания в приближении, когда время между последовательными шагами стремится к нулю. Примером такого процесса служит перемещение частицы, участвующей в броуновском движении. Эту задачу рассматривал Эйнштейн методами классического анализа и получил средний квадрат перемеще-

ет, что нестационарный процесс нельзя описать в терминах автокорреляционной функции и спектральной плотности мощности; это лишь означает, что данные величины должны определяться надлежащим образом.

Фактически необходимый в нестационарном случае математический подход совпадает с тем, который применяется для стационарных процессов, за исключением того, что время наблюдения в нестационарном случае остается конечным, а не стремится к бесконечности. Ординаты процесса вне интервала наблюдения считают равными нулю. Понятие усреднения по ансамблю используется, как и раньше, в предположении, что все составляющие функции ансамбля имеют одинаковые вероятностные характеристики. Теорема Винера - Хинчина, представленная формулами (2.33), также применима, но теперь пределы интегрирования по т конечны и обе функции, фл:(т) и Sj(((u), зависят от времени наблюдения Т [11].

Одно свойство нестационарных процессов особенно интересно. Оно связано с автокорреляционной функцией, усредненной по ансамблю, которая определяется по аналогии со стационарным случаем как