корреляции, это свойство означает лишь экстремальное (по нижней частоте) условие, которое по причинам, подробно рассмотренным выше, никогда нельзя наблюдать на опыте.

Ясно, что процесс, описываемый случайным цугом импульсов в том случае, когда индивидуальный импульс примерно описывается формулой t-, приводит к тем же статистическим параметрам второго порядка, которые получают при экспериментальных измерениях l/f-шума. Конечно, физические механизмы, обусловливающие импульсы именно такой формы в электронной аппаратуре или во многих неэлектронных системах, с первого взгляда не очевидны. В качестве механизма, приводящего к модуляции электрического сопротивления образца, которая в свою очередь приводит к возникновению l/f-шума в определенном диапазоне частот, была предложена термодиффузия; такой механизм можно интерпретировать как процесс случайного цуга импульсов, рассмотренный выше. Хотя термофлуктуации больше не считают единственным механизмом, обусловливающим весь наблюдаемый l/f-шум (по крайней мере в большннстве случаев), эта модель казалась многообещающей в середине 1970-х гг. при ее возникновении. Одна привлекательная особенность этого подхода состоит в том, что равновесный обмен тепловой энергией между телом и его окружением есть явление универсальное и в этом смысле очень схожее с самим l/f-шумом. Однако другие факторы противоречили гипотезе о температурных флуктуациях, а экспериментальные данные, полученные к настоящему времени, таковы, что данная модель, если не целиком отвергается, то и не оправдывает связанных с ней надежд. Ввиду того внимания, которое привлек к себе этот механизм, когда он был предложен, и возможности его повторного рассмотрения в будущем в модифицированном виде, мы опишем его преимущества и недостатки ниже в разд. 6.7.3.

6.4.2. Суперпозиция релаксационных процессов

Зависимость спектральной плотности релаксационного процесса z{t) от времени релаксации Хг записывается в общем виде

где g{xz) -функциональная зависимость числителя от Хг- Вид функции g{xz) определяется физическим механизмом, обусловливающим шум; в некоторых случаях, например в случае теплового шума, функция g{xz) вообще не зависит от Xz- Для наших целей здесь нет необходимости конкретизировать вид

(to) = Р [arctg (coTg)-arctg (cuTi)]/cu. (6.23)

Отметим, что это - четная функция частоты и в диапазоне частот, когда штг»! и 0:(ot:iI, тригонометрические функции в числителе можно считать приближенно равными зт/2 и О, что приводит к следующей приближенной зависимости от частоты:

№)=1т1т- -

Следовательно, суперпозиция релаксационных процессов приводит к спектральной функции с обратно пропорциональной . зависимостью от частоты. Кроме того, в более общем виде можно прийти к зависимости ш ", где ас I, если считать, что числитель подынтегрального выражения в уравнении (6.22) пропорционален Тг"".

Основная трудность данной модели состоит в том, что для получения нужного спектрального закона l/jf] в широкой области частот требуется очень большой разброс постоянных времени. При Г2/т1 = 10 выражение (6.24) справедливо только в диапазоне, перекрывающем четыре порядка по частоте, и, для того чтобы получить диапазон, перекрывающий десять порядков, следует увеличить это отношение тгг/т] до 10. В некоторых случаях, как, например, у МОП ПТ, имеется возможность указать такой физический механизм, который мог бы объяснить существование постоянных времени, распределенных, скажем, в диапазоне 10~-10 с, но в общем случае дело обстоит не так, и представляется невероятным, чтобы суперпозиция релаксационных процессов составляла основу большинства наблюдаемых 1 -шумовых спектров.

функции g{Tz), однако впоследствии в связи с рассмотрением модели 1 -шума в МОП ПТ, предложенной Мак-Уортером (разд. 6.7.2), будет проанализирован случай, когда g(xz)%z.

Допустим, что составлена линейная суперпозиция x(t) релаксационных процессов с постоянными времени, распределенными между верхним и нижним предельными значениями тг и Ti с плотностью вероятности p(xz)- Суммарная спектральная плотность в этом случае имеет вид

SJ) = J р (т,) dx, = J l dT,. (6.22>

tl Ti

Для случая, когда произведение двух функций, стоящих в числителе подынтегрального выражения, не зависит от тг и равно, например, Р, этот интеграл записывается в виде

6.5. Интегралы дробного порядка

После того как стало ясно, что l/f-myM нельзя быстро укротить с помопхью теоретического анализа и что объяснение физики процесса для большинства его проявлений не ожидается, вышло в свет несколько работ, в которых данная проблема была рассмотрена, так сказать, с другой стороны. Эти работы базировались на идее, что спектральную функцию 1 -шума можно получить интегрированием половинного порядка белого шума [1, 47, 48]. Более формальная версия этой же идеи содержится в недавней работе [45].

По существу довод такой: если какой-то процесс x{t) имеет равномерно распределенную спектральную плотность 5л (ш) =5о, то тогда спектральная плотность процесса, полученного интегрированием x(t) т раз, принимает вид

SJ)-jifm~- (6.25а)

Если считать, что 2т = 1, то

S? = -[j-. (6.256)

что и является требуемым спектром с обратной зависимостью от частоты. Условие т=1/2 соответствует интегралу половинного порядка от x(t).

Хотя, используя интегралы дробного порядка, можно прийти к формуле 1/1/1, это настолько непонятная концепция, что можно только удивляться, каким образом она может помочь в построении физической модели 1 -щума. Несколько продвинул вперед решение этой проблемы Радека [54], заключив, что если белый шум пропустить через фильтр с передаточной функцией = то флуктуации на выходе фильтра будут иметь 1/1/1-спектр. В таком случае этот гипотетический фильтр выполняет роль интегратора дробного порядка. Любопытно, что поскольку белый шум можно представить как случайную последовательность импульсов, то сигнал на выходе фильтра Радеки по своему характеру представляет случайный цуг импульсов, причем в качестве формы индивидуального импульса здесь выступает просто импульсная характеристика h(t) фильтра. Заметим далее, что h(t)-это обратное фурье-преобразование Я(/ю), которое есть нуль при <0 и имеет вид h{t)t-l при 0. Но это точно такая функция, которая рассматривалась Шенфельдом при анализе возможности моделирования 1 -шумового сигнала случайным цугом импульсов, т. е. подход Радеки дает некий свежий взгляд на структуру