-i-9f,i --L ""0 - ао»2 (О iY\k

-11-о+-щ- (115.8)

где Qo=(i)oC/\GL-Go\ -внешняя добротность генератора. Функции, зависящие от времени в правой части этих выражений, представляют источник и задаются интегралами

j --smcoofdf (П5.9)

t+To/2

rh{f)= J -cosaydf, (П5.10)

<-To/2

где Го = 2я/соо - период собственных колебаний. Заметим, что производная источника белого шума, появляющаяся в подынтегральных выражениях, здесь уже весьма определенно не является медленно меняющейся функцией, и ее нельзя выносить за знак интеграла. Позднее мы вернемся к вычислению ni{t) и П2(/) (или, по крайней мере, - их спектральных плотностей).

Уравнения (П5.7) и (Г15.8) - линейные совместные уравнения, решаемые стандартными методами. Дифференцируя уравнение (П5.8), умножая уравнение (П5.7) на 2соо и вычитая одно из другого, получаем уравнение, не содержащее ф():

2co„n,(Ol. (Пб.П)

Применяя преобразование Фурье к обеим частям этого уравнения и решая полученное уравнение относительно преобразования a(t), находим

«о

где Ni{j(i)) и Л2(/<в) - преобразования fti(/) и «2(0 и принята-аппроксимация при <в<(йо- Это и есть рассматриваемый случай, так как а {() - функция очень низкой частоты. Из формулы

(П5.12) получаем спектральную плотность a(t)

S„,{to)

5„И =-f,-. (П5.13)

где 5nj(co) -спектральная плотность ni{t).

Решение для фазовых флуктуации теперь находят из уравнения (П5.8), применяя преобразование Фурье к обеим частям и находя преобразование функции <}(t) через Л (/со)

¥(/со) =

/Сй2 J\ А /,7.Л J (М

(2/Шо«)

~ -/Л/ (/сй)/(2™оСйС), (П5.14)

где принята аппроксимация для интересующей нас области низких частот, т. е. при схСсоо- Таким образом, спектр ij3(f) равен

где Sn{(i)) -спектральная плотность «2(0-

Взаимную спектральную плотность между флуктуациями амплитуды и фазы можно записать непосредственно по фурье-пре-образованиям в уравнениях (П5.12) и (П5.14)

Snn, (W)

S„*(co)=--f-. (П5.16)

где 5„j„(co)-взаимная спектральная плотность между fti() и

n2{t).

Теперь остается только определить взаимные спектральные плотности флуктуации источников ni{t) и «2(0 через спектр шумового генератора тока in(t). Считаем, что нас интересует ni(0, задаваемая выражением (П5.9); тогда, интегрируя по частям, можно представить эту величину в виде

«1 (О = -[in {i+ Tj2)-i (t-To/2)] sin coo-

i+To/2

-J r„(f)coscu/dr. (П5.17)

-Го/2

Таким образом, получаем ковариацию

«1 (О п, (+т) = [i„ {t.-\-TJ2)-i {t-To/2)] X

X sincOofsmcOo(f4-T)-)--fco,sinco„ j* [i„ itTJ2)iAn-

-t„ (-ЗД t„ (f)] COSlOof df-f <+Го/2

-fcuoSincOoa+T) j K(-fTo/2-fT)i„(0-

-[in (-7-0/2+T) i„ (f)] cosco/df-f

/+7-0/2 <+7-o/2+t:

-fcop J J i„ () in {t") coswof cosdi"dtdt". (П5.18)

<-Го/2 t-Tt/2+t

По определению автокорреляционная функция ni(0 имеет вид

(т) = Нт j n{t)n,{t-{-x)dL (П5.19)

• • -т/2

Далее, так как in{t) служит источником белого шума, его автокорреляционная функция является дельта-функцией

4>i (т) = in it) in it+) = k8 (T), (П5.20)

где k - константа. Объединяя выражения (П5.18) и (П5.20), получаем, что всеми членами в правой части выражения (П5.18) можно пренебречь, за исклкучением члена, содержащего двойной интеграл, что дает

(г.-.), т<т,

О , \т\>Т,.

По теореме Винера - Хинчина спектральная плотность ni(f)> следовательно, описывается формулой

И = 2too J iTo-т:) cos ardx = 4л% (П5.22)

.где функция косинусов в подынтегральном выражении положе-