8.6 Метод линеаризации

Выражение (8.22) дает возможность понять общие черты выходного спектра шумового генератора. Для дальнейшего рассмотрения следует конкретизировать различные члены, появляющиеся в общем выражении, и решать нелинейное неоднородное уравнение (8.12). Решение находится методом линеаризации, в результате которой остаются только члены с комбинационными частотами, обусловленными взаимодействием шума с собственными колебаниями; сдвиг частоты, появляющийся из-за взаимодействия шума с самим собой очень мал, и им пренебрегают.

Начнем рассмотрение, записывая выходной сигнал v{t) генератора в виде суммы собственных колебаний Uf (i) = Uocos toof и члена Vn{t), описывающего влияние шума

v{i)Vi{t)+vAt). (8-23)

Из сравнения этого выражения с (8.13) видно, что «шумовой» член имеет вид

Vn (О = 1 (t) cos (o-i-v (О sin «0 (8.24)

где Vi{t) и V2{t)-медленно меняющиеся функции, описываемые выражениями

Vx it) = Vo {[1+«(01 cos (О-1}, (8.25a)

v(t) = VoSm{{). (8.256)

Если выражения (8.25) разложить в ряд до первого порядка переменных a{t) и ij)(0, обнаружим, что Vi{t)Voa{t) и &2(0 - voit), и, таким образом, в этом приближении выходной шум в выражении (8.24) принимает вид

v„{t)cVo[a{i)cos&ot+{t)sm(o (8-26)

Здесь, конечно, подразумевается, что и о(01. и 1ф(01 много меньше единицы.

тельно, если флуктуации амплитуды и фазы не независимы, шумовые боковые полосы имеют некоторую асимметричность. Как показано в приложении 5, когда in{t)-генератор белого шума, флуктуации амплитуды и фазы независимы [т. е. Са{а>-оо)=0] и шумовые боковые полосы симметричны относительно Юо.

-pGot>„ {?,Vf+ZvVf+v) = t„ (0, (8.27)

где опущена функциональная зависимость Vf и Vn от и для удобства коэффициент « в разложении нелинейной проводимости [выражение (8.2)] считается равным нулю. (При этом общность не утрачивается, так как а не оказывает существенного влияния на выходное напряжение генератора.) Далее, первый член в фигурных скобках в уравнении (8.27) тождественно равен нулю [ср. с уравнением (8.3) для собственных колебаний], и, следовательно, уравнение для выходного шума, которое мы должны решить, приобретает вид

С-§+(G-G„) t>„+-i-j

-,vAVf+v,Vf+v)i,{t). (8.28)

Заметим, что в этом уравнении благодаря нелинейному члену появляются слагаемые из сомножителей с взаимной модуляцией, связанных с взаимодействием шума с самим собой и с собственными колебаниями. Мы еще коснемся этого вопроса.

В отсутствие нелинейности (т. е если бы р было равно нулю) спектральная плотность шумового напряжения, полученная из уравнения (8.28), имела бы вид

s.(«)=-

(to tOo Y

(8.29)

где Si - спектральная плотность генератора белого шума in{t); <i>o=lJ]/LC и Qo=(»oG/Gi-Go-внешняя добротность генератора. Очевидно, для данной грубой аппроксимации шум просто изменяет форму в результате узкополосной фильтрации контуром генератора. Этот вывод, однако, очень упрощен и должен видоизмениться, если учесть влияние нелинейного члена в уравнении (8.28).

Уравнение (8.28) становится понятнее, если линеаризовать нелинейный член. Все три члена, заключенные в круглые скоб-

Вернемся к уравнению (8.12) и, подставив в него v{t) из выражения (8.23), получим

ки, вносят вклад в нелинейность, но два из них (второй и третий), содержащие шумовые флуктуации Vn{t), пренебрежимо малы по сравнению с первым, который описывает собственные колебания. Следовательно, нужно рассматривать только тот нелинейный член, который содержит произведение vfvn, а это эквивалентно тому, что остаются для рассмотрения взаимодействия между собственными колебаниями и шумом, тогда как все взаимодействия типа шум - шум не принимаются во внимание.

Используя выражение (8.26) и представление собственных колебаний в виде (О =УоСОЗ юо, а также записывая все тригонометрические функции в экспоненциальной форме, получаем следующую формулу для этого произведения

Vfv, = т+П ехр (/40 -Ь(2/* +/) ехр +

+/ ехр (3/(0о0+/* ехр (-3/Ч0]. (8-30)

где .

f = f{t) = a{t)-i{i) (8.31)

- медленно меняющаяся комплексная функция времени. Далее, если принять во внимание то, что нас интересуют только частоты, близкие к частоте собственных колебаний (так как контур генератора обладает высокой частотной избирательностью), становится очевидным, что три гармонических члена в выражении (8.30) дают незначительный вклад в выходной шум и, следовательно, ими можно пренебречь. Это позволяет записать выражение

оЧ [(2/+/*) ехр (/«с/) +(2/*+/) ехр {-])] =

= -[2f„(0+o,(0]. (8.32)

Vg (t) = fo [«(О cos сор-If (t) sin (01 (8.33)

После подстановки выражения (8.32) в уравнение (8.28) получаем

C--{Gi.-Go) {Vn+v)+i-vJt = iAt), (8.34)

где вместо Vo подставлено выражение (8.10). Уравнение (8.34) - линейное дифференциальное уравнение для флуктуирующих процессов Vn{t) и Vg{t); таким образом, сделан первый шаг в решении нелинейного дифференциального уравнения (8.28).