(pxir) процесса). Меняя местами в правой части предел и интегрирование и учитывая определение (2.31), получаем

Это формула преобразования Фурье, обратное соотношение для которого можно получить непосредственно по аналогии с интегралом обращения (2.10)

S(ca) = 4 J ф„ (т) cos ardx. (2.336).

Выражения (2.33) составляют теорему Винера - Хинчина, названную так в честь работ Винера [23] и Хинчина [10].

Теорема Винера - Хинчина - важный аналитический инструмент. В качестве примера ее применения рассмотрим релаксационный процесс. Такие процессы часто встречаются в устройствах на твердом теле; они описываются экспоненциально убывающей автокорреляционной функцией

ехр (-1 т i/t,), (2.34)

где фх(0) -дисперсия процесса, а ti - константа распада. Формула обратного преобразования (2.336) тотчас дает спектральную плотность процесса в виде

5Л«) = 4ф,(0)т,/(1(2.35)

Таким образом, спектр релаксационного процесса равномерен,, когда (d<1/ti, убывает как l/ca, когда со» 1/ть и при co=1/ti имеет половинную интенсивность.

Конечно, не все шумовые процессы относятся к релаксационному типу. Из процессов нерелаксационного типа примечателен 1 -шум, который имеет место в большинстве электронных приборов и в ряде других систем. Его спектральная плотность изменяется как/-«, где и обычно находится между 0,8 и 1,2. Эту зависимость наблюдали в широком диапазоне частот, ограниченном сверху джонсоновским шумом, а снизу - временем наблюдения, принятым в эксперименте. Несмотря на повсеместность распространения этого шума и большой интерес к нему в течение последних приблизительно пятидесяти лет после того,

> Усредненная по ансамблю автокорреляционная функция стационарного процесса равна автокорреляционной функции любой из составляющих. функцнй ансамбля.

.2.6. Последовательности случайных импульсов

Случайный шум часто происходит от большого числа неза-твисимых дискретных «событий». Каждое событие производит импульс данной формы, и случайная суперпозиция всех таких импульсов составляет форму шумового сигнала. Такой сигнал называют последовательностью случайных импульсов. Как последовательности случайных импульсов можно рассматривать дробовой шум и тепловой шум, а также много других процессов в электронных и других устройствах. Подобным образом, -например, можно представить генерационно-рекомбинационный шум, выпадение осадков и вызванный ветром акустический шум в океане.

Если f(/) -функция, описывающая форму импульса, тофор-гма шумового сигнала является суперпозицией*:

x{t) = aj{t-t\ (2.36)

fe=i

1где Cfe - амплитуда k-vo импульса; tk - момент времени, в который происходит А-е событие; К - число импульсов в последо--вательности протяженностью Г и по условию причинности f(t)=0 для /<;0. Статистические характеристики процесса (2.36) получают при условии, что ряд сходится и что функция

" Здесь для краткости можно опустить обозначение шумовых процессов .нижним индексом Г, показывающим, что время наблюдения конечно.

как стало известным это явление, вполне удовлетворительной теории l/f-шума до сих пор не появилось.

Может быть, стоит добавить, что форму спектра l/f-шума часто приближенно описывают выражением f-", где al. Почти всегда это (строго говоря, неточное) представление hohhj мают как зависимость f-*, которая, конечно, является четной функцией частоты независимо от значения та, как и любая спектральная плотность. Зависимость же f-" при «=1-нечетная функция частоты, а при дробном а это вообще не действительная функция, а бесконечное множество комплексных функций. Очевидно, такая функция не может быть спектральной плотностью. Чтобы избежать возможных недоразумений, повторим, что спектральная плотность l/f-шума в наблюдаемом диапазоне частот имеет вид зависимости If~", которая является четной функцией частоты и как таковая соответствует определению функции спектральной плотности (2.31).

+ 2 аиат exp[-/co(fe-U] . (2-40)

где штрих означает суммирование при кфт. Так как аи и am независимы для всех кфт (т. е. попарно независимы), а Qk не зависит от tk, то произведение аат можно вынести за сумму со штрихом и положить равным а. Таким образом, для симмет-

" Предполагаем, что функция плотности вероятности, соответствующая распределению а в ансамбле, не зависит от k.

формы определена для времени, много меньшего времени наблюдения Т.

Так как события независимы, величины 4 распределены по закону Пуассона с функцией плотности вероятности, равной 1/7. (Распределение Пуассона обсуждается в приложении 1.) Таким образом, математическое ожидание процесса есть функция

Щ = у~а!{{)й1, (2.37)

где v= lim (kjT) -среднее число событий в секунду и а - сред-

Г-оо

нее значение амплитуды а). Выражение (2.37) иногда называют теоремой Кемпбелла о среднем. Из этой теоремы ясно, что если амплитуды симметрично распределены относительно нуля, то среднее значение процесса равно нулю.

Фурье-преобразование для x{t) имеет вид к к

X (/со) = 2 t«fc Р = Р 2 ""Р (-й)-

Теперь, согласно определению (2.31), спектральная плотность x{t) является функцией

Sj) = lim у a,G„exp[-/co(/, U], (2.39)

k,m=l

где номинальный индекс суммирования т позволяет включить в двойную сумму смешанные члены. Сумму в выражении (2.39) можно представить в виде суммы членов с k=m плюс двойная сумма членов с кфт, что дает возможность записать спектральную плотность в виде