излучения на частоте / определяется выражением

E = nhf, (11.10)

где п - полное число фотонов в поле, каждый из которых обладает энергией hf. Принимая во внимание уравнение (11.10) и корпускулярное описание, предположим теперь, что поле рассматривается как волна, для которой можно ввести фазу

Ф-2я/. (11.11)

Таким образом, мы имеем два уравнения, каждое из которых отражает различные аспекты характера поля. Одно из этих уравнений содержит энергию В, другое - время t. Как мы уже видели, эти две величины являются сопряженной парой, удовлетворяющей принщшу неопределенности, выраженному уравнением (11.3). Записывая выражения

Д£ = й/Ап,

(11.12)

Д(р - 2л;/Д,

получаем

АпАф>1/2. (11.13)

Этот результат отражает дуальный характер поля излучения, показывая, что измерения, основанные на корпускулярном и волновом представлениях поля, не являются независимыми: информация об одном из них получается за счет информации о другом.

Принцип неопределенности в виде выражения (11.13) можно использовать для установления квантового предела шумов линейного усилителя [7]. Удобно провести доказательство применительно к мазеру, название которого рассматривается здесь как обобщенный термин, употребляемый для обозначения устройств, усиливающих излучение при прохождении его через возбужденную молекулярную среду за счет индуцированного излучения, в том числе лазеров, иразеров и т. д. Для настоящего рассмотрения достаточно оставить пока в стороне микроскопическую картину работы мазера, речь о которой пойдет в следующей главе, и сконцентрировать внимание на простой модели, изображенной на рис. 11.2. Падающее излучение, имеющее спектральную плотность Si, проходит через поглощающий материал толщиной L (изображающий мазер) и выходит со спектральной плотностью

S2 = 5iexp(-aL), (11-14)

где а - коэффициент поглощения на частоте излучения. Если мазер функционирует как усилитель, величина а будет

отрицательной и интенсивность на выходе превосходит интенсивность на входе, т. е. система обеспечивает усиление. Тогда количества фотонов П\ и П2, появляющихся соответственно на входе и выходе системы в течение данного времени, связаны соотношением

щ = Сп, (11.15)

где G>1 - коэффициент усиления по мощности. Поскольку усиление является когерентным процессом, фазы на входе и выхо-

ч ,9

2.ететго\

Рис. 11.2. Прохождение электромагнитного излучения через поглощающую среду толщиной L.

Рис. 11.3. Усилитель с коэффщиен-том усиления О и «идеальный» детектор.

де 91 и <р2 равны или отличаются на постоянный фазовый сдвиг 90:

Ф2 = ф14-ф0- (11.16)

Предположим теперь, что после усилителя включен детектор (рис. 11.3), который является «идеальным» в том смысле, что он наилучший из возможных в пределах ограничений, налагаемых принципом неопределенности. Таким образом, детектор беспечивает измерение числа фотонов Пг и фазы фг поля излучения на выходе усилителя с ошибкой, определяемой соотношением неопределенности

Апф.щ = т. (11.17)

Следовательно, если бы усилитель не имел собственных шумов, ошпбки измерения числа фотонов и фазы на входе удовлетворяли бы условию

Д пД ф1 = (1 /С) Ап,Дф, = (1 /2) G. (11.18)

Это невозможно, поскольку противоречит принципу неопределенности, а следовательно, гипотеза о том, что усилитель не ямеет собственных шумов, несправедлива. Усилитель должен

ВВОДИТЬ некоторую неопределенность в измерение, или, другими словами, он всегда будет иметь шумы.

Хотя такое рассуждение устанавливает существование минимального уровня шума в усилителе, оно не позволяет оценить, этот уровень. Однако такую оценку можно получить, используя дополнительное условие согласования усилителя с детектором. Тогда уровень квантовых флуктуации поля излучения [5] получается как условие минимального шума. Из расчетов, приведенных в приложении 7, следует, что минимальная мощность шума на выходе усилителя, определенная в полосе частот df около сигнальной частоты /о, описывается формулой

А/ми„ = (С-1)ад. (11.19).

Относя ее ко входу, т. е. разделив на коэффициент усиления G, получаем, что в пределе большого G минимальная обнаруживаемая мощность сигнала составляет hfdf.

Этот вывод представляет интерес в связи с тем, что мощ--ность шума, генерируемая сопротивлением (как показано в сле-дуюием разделе), в пределе низких температур равна. {1/2) hfdf, так как она связана с энергией нулевых колебаний. Энергия нулевых колебаний не наблюдается, поскольку она: в 2 раза ниже минимально регистрируемого уровня. Напротив, в «классическом» пределе мощность генерируемых шумов на--блюдается всегда, по крайней мере в принципе. Тем не менее,, когда существенны квантовые эффекты, усилитель сам является объектом квантовомеханического рассмотрения и устанавли-• вает нижний предел регистрируемой мощности на входе.

Рассуждение, приведенное выше, является довольно общим--в том смысле, что оно применимо к любому линейному усилителю, который описывается уравнениями (11.15) и (11.16). Примером такого «совершенного» устройства является мазер; теоретически минимальная обнаруживаемая мощность на входе ма--зера точно описывается выражением 11.19, которое, как мы видим, дает наилучший достижимый результат. Принцип дейст--вия мазера и механизмы шумов, возникающих в нем, будут обсуждаться в разд. 11.5 и 11.6.

11.4. Теорема Найквиста и квантовая механика

В своем рассмотрении теплового шума Найквист [9] вое--пользовался приемом, заключающимся в анализе обмена энер--гией между двумя электрическими проводниками, соединенными идеальной передающей линией без потерь и находящимися в состоянии равновесия при температуре 6. Используя теорему о.